Bonsoir, voici la réponse à ton exercice :
· On pose l'équation :
[tex]x^3-\left(m^2+3\right)x^2+\left(m^2+3\right)x+m^4=0[/tex]
# On va distribuer les [tex]x^2[/tex] et [tex]x[/tex] sur leurs "coefficients"
⇔ [tex]x^3-m^2x^2-3x^2+m^2x+3x+m^4=0[/tex]
# On va réécrire l'équation avec l'ordre du degré supérieur
⇔ [tex]m^4+\left(-x^2+x\right)m^2+x^3-3x^2+3x=0[/tex]
· On pose [tex]u=m^2\mathrm{\:et\:}u^2=m^4[/tex], on a donc une équation du second degré :
⇔ [tex]u^2+\left(-x^2+x\right)u+x^3-3x^2+3x=0[/tex]
{Étapes du discriminant Δ :
→ Δ = b² - 4ac
→ Δ > 0
→ Deux solutions
→ [tex]u = \frac{- b - \sqrt{Delta} }{2a}, u = \frac{- b + \sqrt{Delta} }{2a}[/tex]
→ [tex]u=\frac{x^2-x+\sqrt{x^4-6x^3+13x^2-12x}}{2},\:u=\frac{x^2-x-\sqrt{x^4-6x^3+13x^2-12x}}{2}[/tex]}
· On repose [tex]u=m^2[/tex], et on résout pour [tex]m[/tex] :
[tex]m^2=\frac{x^2-x+\sqrt{x^4-6x^3+13x^2-12x}}{2},\\\\\m = \sqrt{\frac{x^2-x+\sqrt{x^4-6x^3+13x^2-12x}}{2}}, m=-\sqrt{\frac{x^2-x+\sqrt{x^4-6x^3+13x^2-12x}}{2}}[/tex]
et
[tex]m^2=\frac{x^2-x-\sqrt{x^4-6x^3+13x^2-12x}}{2},\\\\\ m = \sqrt{\frac{x^2-x-\sqrt{x^4-6x^3+13x^2-12x}}{2}}, m=-\sqrt{\frac{x^2-x-\sqrt{x^4-6x^3+13x^2-12x}}{2}}[/tex]
· Les solutions sont donc :
[tex]m=\sqrt{\frac{x^2-x+\sqrt{x^4-6x^3+13x^2-12x}}{2}},\:m=-\sqrt{\frac{x^2-x+\sqrt{x^4-6x^3+13x^2-12x}}{2}},\\\\\:m=-\sqrt{\frac{x^2-x+\sqrt{x^4-6x^3+13x^2-12x}}{2}},\:m=\sqrt{\frac{x^2-x-\sqrt{x^4-6x^3+13x^2-12x}}{2}}[/tex]
En espérant t'avoir aidé au maximum !
