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Bonjour ! Enfin quelque chose d'autre que des identités remarquables ou des fractions, et quelque chose de familier :
1. Dérivée de f(x)
∀x∈R*, on a :
Rappel :
[tex](x)' = 1[/tex]
[tex](\frac{a}{b})' = \frac{a'b - ab'}{b^2}[/tex]
[tex](k)' = 0[/tex]
f'(x) = (x + [tex]\frac{4}{x}[/tex])'
= 1 + [tex]\frac{(4)'x - 4(x)'}{x^2}[/tex]
= 1 + [tex]\frac{0*x - 4*1}{x^2}[/tex]
= 1 - [tex]\frac{4}{x^2}[/tex]
# On met au même dénominateur pour prouver le "montrer que.."
= [tex]\frac{x^2}{x^2} - \frac{4}{x^2}[/tex]
= [tex]\frac{x^2 - 4}{x^2}[/tex]
= [tex]\frac{x^2 - 2^2}{x^2}[/tex]
# Tu reconnais l'identité remarquable a² - b² = (a - b)(a + b)
= [tex]\frac{(x - 2)(x + 2)}{x^2}[/tex]
2. Signe de f'(x)
∀x∈R*, on cherche l'ensemble définition de f'(x) = [tex]1 - \frac{4}{x^2}[/tex], tel que :
· Si -∞ ≤ x ≤ - 2, le résultat sera positif
· Si - 2 ≤ x < 0, le résultat sera négatif
· Si 0 < x < 2, le résultat sera négatif
· Si x = 2 ou - 2, le résultat sera nul
· Si 2 < x ≤ +∞, le résultat sera positif
L'ensemble de définition est donc : ] -∞, 0[ ∪ ] 0, +∞ [ avec x∈R* \ {- 2 ; 2}
Tableau de variations de f
On peut donc poser le tableau de variations suivant :
(Je te le fais sur papier, donc tu l'auras ci-joint)
En espérant t'avoir aidé au maximum !
