Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
1)
Tu calcules P(1) et tu trouves zéro. OK ?
2)3)
Tu développes :
(x-1)(ax²+bx+c) et à la fin , tu trouves :
(x-1)(ax²+bx+c)=ax³+(b-a)x²+(c-b)x-c
Par identification avec : -2x³+6x²+26x-30 , on a :
a=-2
b-a=6 ==>b=6+a
b=4
c-b=26 ==>c=26+b
c=30
-c=-30
c=30
4)
Donc :
P(x)=(x-1)(-2x²+4x+30)
On résout maintenant :
-2x²+4x+30=0
Δ=4²-4(-2)(30)=256
√256=16
x2=(-4+16)/-4=-3 et x3=(-4-16)/-4=5
Avec x1=1 , on a les 3 racines.
Généralisation :
1)
On a donc P(α)=0 puisque α est racine de P(x).
Et P(α)=aα³+bα²+cα+d
On peut donc écrire :
P(x)=P(x)-P(α) puisque P(α)=0
2)
P(x)=ax³+bx²+cx+d - aα³-bα²-cα-d
P(x)=a(x³-α³)+b(x²-α²)+c(x-α)
3)
On sait que :
x³-α³=(x-α)(x²+xα+α²)
et
x²-α²=(x-α)(x+α)
Donc :
P(x)=a(x-α)(x²+xα+α²)+b(x-α)(x+α)+c(x-α)
P(x)=(x-α)[a(x²+xα+α²)+b(x+α)+c]
