Bonjour,
1) x² + y² + x - 4y + 1 = x² + y² - 3x + 2y - 13
⇔ x - 4y + 1 = - 3x + 2y - 13
⇔ 4x - 6y + 14 = 0 équation de la droite (AB)
⇔ x = (3y - 7)/2
En injectant cette condition dans l'une ou l'autre des 2 équations des cercles :
x² + y² + x - 4y + 1 = 0
⇒ (3y - 7)²/4 + y² + (3y - 7)/2 - 4y + 1 = 0
⇔ (3y - 7)² + 4y² + 2(3y - 7) - 16y + 4 = 0
⇔ 9y² - 42y + 49 + 4y² + 6y - 14 - 16y + 4 = 0
⇔ 13y² - 52y + 39 = 0
⇔ y² - 4y + 3 = 0
⇔ (y - 1)(y - 3) = 0
⇒ y = 1 ou y = 3
⇒ x = -2 ou x = 1
⇒ A(-2;1) et B(1;3)
2) (Ek) : x² + y² + x - 4y + 1 + k(x² + y² - 3x + 2y - 13) = 0
a)
(E-1) : x² + y² + x - 4y + 1 - (x² + y² - 3x + 2y - 13) = 0
⇔ x² + y² + x - 4y + 1 = x² + y² - 3x + 2y - 13
⇔ 4x - 6y + 14 = 0 droite (AB)
Pour les 2 points A et B, on sait que leurs coordonnées vérifient :
x² + y² + x - 4y + 1 = 0 et x² + y² - 3x + 2y - 13 = 0
⇒ x² + y² + x - 4y + 1 = 0 et k(x² + y² - 3x + 2y - 13) = 0
⇒ x² + y² + x - 4y + 1 + k(x² + y² - 3x + 2y - 13) = 0
⇔ (1 + k)x² + (1 + k)y² + (1 - 3k)x + (-4 + 2k)y + 1 - 13k = 0
⇒ équation d'un cercle passant par A et B.
b) on va poser (1 + k) = a, soit k = a - 1 (donc a ≠ 0)
ax² + ay² + (1 - 3(a - 1))x + (-4 + 2(a - 1))y + 1 - 13(a - 1) = 0
⇔ ax² + ay² + (4 - 3a)x + (-6 + 2a)y + 14 - 13a = 0
ax² + (4 - 3a)x = a[x + (4 - 3a)/2a]² - (4 - 3a)²/4a²]
ay² + (-6 + 2a)y = a[y + (-6 + 2a)/2a]² - (-6 + 2a)²/4a²
Centre de (Ek) : Ck( (3a - 4)/2a ; (6 - 2a)/2a )
Soit : Ck( (3k - 1)/2(1+ k) ; (4 - 2k)/2(1 + k) )
ou Ck ( (3k - 1)/2(1+ k) ; (2 - k)/(1 + k) )
sauf erreur de calcul....
Reste à trouver la relation entre x(Ck) et y(Ck)
on extrait k de x ou de y et on remplace dans l'autre
on trouve : 6x + 4y - 5 = 0 droite que parcourt Ck
