abidibou
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Bonjour j'aurais vraiment besoin d'aide pour cet exercice même si c'est pour une question en math s'il vous plaît. Mercii d'avance pour l'aide^^

ABCD est un carré, M et N sont des points des segments [AB] et [AD] tels que AM=AN, le point I est le milieu du segment [DM].
Faire une figure.

Le but de l’exercice est de démontrer par deux méthodes différentes que les droites (BN) et (AI) sont perpendiculaires.

Première méthode avec les propriétés du produit scalaire
1) Prouver l’égalité AM + AD ⃗ = 2 AI ⃗ .
2) Calculer le produit scalaire 2 AI ⃗. BN ⃗, puis conclure.

Deuxième méthode dans un repère orthonormé
On se place dans le repère orthonormé (A ; AB ⃗ ; AD ⃗) et on note x l’abscisse du point M.
1) Déterminer les coordonnées des points A, B, D, M, N et I.
2) Calculer le produit scalaire AI.BN , puis conclure

Sagot :

danielwenin

Réponse :

La réponse en fichier joint.

Bonne journée

Explications étape par étape :

View image danielwenin

Réponse :

1) prouver l'égalité vec(AM) + vec(AD) = 2vec(AI)

vec(AM) = vec(AI) + vec(IM)     relation de Chasles

vec(AD) = vec(AI) + vec(ID)           //       //        //

............................................................

vec(AM) + vec(AD) = vec(AI) + vec(IM)  + vec(AI) + vec(ID)    

                               = 2vec(AI) + vec(IM) + vec(ID)

or  vec(IM) + vec(ID) = 0   car  I est le milieu du segment  (DM)

donc  vec(AM) + vec(AD) = 2vec(AI)

2) calculer le produit scalaire 2vec(AI).vec(BN)  puis conclure

 2vec(AI).vec(BN) = (vec(AM) + vec(AD).(vec(BA) + vec(AN))

= vec(AM).vec(BA) + vec(AM).vec(AN) + vec(AD).vec(BA) + vec(AD).vec(AN)

= - vec(AM).vec(AB) + vec(AM).vec(AN) + vec(AD).vec(BA) + vec(AD).vec(AN)  

= - (AM) x AB x cos 0° + (AM) x AN x cos 90° + (AD) x BA cos 90° + AD x AN x cos 0°

2vec(AI).vec(BN) = - 1 + 0 + 0 + 1 = 0

on en déduit que les droites (AI) et (BN) sont perpendiculaires

2ème méthode :  repère orthonormé  (A , AB , AD)  et on note x l'abscisse du point M

1) déterminer les coordonnées des points  A, B,  D, M, N et I

A(0 ; 0)  ;  B(1 ; 0)  ; D(0 ; 1)  ; M(x ; 0) ; N(0 ; x)  ; I(x/2 ; 1/2)

2) calculer le produit scalaire AI.BN puis conclure

vec(AI) = (x/2 ; 1/2)

vec(BN) = (0 - 1 ; x) = (- 1 ; x)

XX' + YY' = x/2)*(- 1) + 1/2)* x = 0

donc les droites (AI) et (BN) sont orthogonaux

Explications étape par étape :

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