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Exercice 1:
On considère la figure ci-dessous, où ABCD est un rectangle tel que AB = 12 et BC = 6, M est un
point mobile sur [AB], et les points mobiles N et P sont placés de telle sorte que AMNP est un carré, P
étant un point du segment [AD].
Le but de l'exercice est de déterminer comment placer le point M pour que l'aire grisée soit la plus
grand possible.
Partie A : modélisation à l'aide de GeoGebra.
1. Reproduire la figure sur GéoGébra,
Conjecturer la position du point M tel que l'aire grisée soit la plus grande possible.
Partie B: modélisation à l'aide d'une fonction.
1. On pose x = AM. Dans quel intervalle x varie-t-il?
2. Justifier que l'aire grisée est A(x) = -x2 + 9x. (Vous pourrez admettre ce résultat
pour la suite)
3. On a ainsi défini une fonction A.
a. Quel est son ensemble de définition ?
b. A l'aide de votre calculatrice, conjecturer le tableau des variations de la fonction A.
c. Conclure.
Partie C: démonstration de la conjecture établie dans les parties 1 et 2.
(Pour les élèves convoitant une 1èe générale avec spécialité maths)
1. Calculer A (4,5).
2. Démontrer que pour tout nombre réel x E [0;6], A(x) = - (x - 4,5)2 + 20,25.
3. Justifier que pour tout nombre réel x E [0 ; 6], A(x) ≤ A (4,5).
4. En déduire le maximum de la fonction A, ainsi que la valeur en laquelle il est atteint.

Sagot :

Salut,

on pose AM = AP = x centimètres .

- remarque : il faut 0 ≤ x ≤ 6 cm .

- Aire rectangle ABCD = 12 * 6 = 72 cm² .

- Aire du carré MAPN = x² .

- Aire triangle BCM = 6 * (12-x) / 2 = 36 - 3x .

- Aire triangle CDP = 12 * (6-x) / 2 = 36 - 6x .

- donc Aire grise CMNP = 72 - x² - 36 + 3x - 36 + 6x

                                            = -x² + 9x

                                            = x (9-x) .

conclusion :

- l' Aire grise maxi sera obtenue pour

x = (0+9)/2 = 9/2 = 4,5 cm .

il faut placer le point M à 4,5 cm de A

        ( sur le segment [ AB ] )

- vérif : Aigre grise maxi = 4,5² = 20,25 cm² .

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