Réponse :
f(x) = x²/(x² - x + 1)
1) justifie que f est définie sur R
x² - x + 1
Δ = 1 - 4 = - 3 < 0 pas de racines donc x² - x + 1 > 0 ∀x ∈ R car a = 1 > 0 donc le domaine de définition est R
2) montrer que, pour tout x réel , 0 ≤ f(x) < 2
f(x) = x²/(x² - x + 1) ≥ 0 car x² ≥ 0 et x² - x + 1 > 0
étudions le signe de f(x) - 2
[x²/(x² - x + 1)] - 2 ⇔ [x²/(x² - x + 1)] - 2(x² - x + 1)/(x² - x + 1)
⇒ (x² - 2 x² + 2 x - 2)/(x² - x + 1) or x² - x + 1 > 0
⇔ - x² + 2 x - 2
Δ = 4 - 8 = - 4 ⇒ - x² + 2 x - 2 < 0 ∀x ∈ R car a = - 1 < 0
donc f(x) - 2 < 0 ⇔ f(x) < 2
Donc 0 ≤ f(x) < 2
Explications étape par étape :
Réponse :
bonsoir
Explications étape par étape :
1) f(x)=x²/(x²-x+1) f(x) est une fonction quotient , elle n'est donc pas définie pour les valeurs qui annulent le diviseur
On note x²-x+1=0 n'a pas de solution (delta<0)
On en déduit que f(x) est définie sur R en plus que dividende et diviseur sont >0 donc f(x) est toujours >ou=0
2) on va étudier f(x) sur son Df
a)limites
x tend vers -oo ou -oo f(x) tend vers+1
b)dérivée
f'(x)=[2x(x²-x+1 )-(2x-1)x²](x²-x+1)²=(2x³-2x²+2x-2x³+x²)/(x²-x+1)
f'(x)=(-x²+2x)/(x²-x+1)²=x(-x+2)/(x²-x+1)
le signe de f'(x) dépend uniquement du signe de x(-x+2)
f'(x)=0 pour x=0 et x=2
c) Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)
x -oo 0 2 +oo
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) +1 D f(0) C f(2) D +1
f(0)=0
f(2)4/(4-2+1)=4/3
Conclusion pour tout x appartenant à R: 0<ou=f(x)<2