Réponse :
f(x) = (x - 1)² + 2
1) on pose x , y ∈ R calculer f(y) - f(x) sous forme développée
f(y) = (y - 1)² + 2 = y² - 2 y + 3
f(x) = (x - 1)² + 2 = x² - 2 x + 3
..............................................................
f(y) - f(x) = y² - 2 y + 3 - (x² - 2 x + 3) = y² - 2 y + 3 - x² + 2 x - 3
f(y) - f(x) = y² - 2 y - x² + 2 x
2) factoriser f(y) - f(x) en utilisant une identité remarquable
f(y) - f(x) = y² - 2 y - x² + 2 x
= y² - x² - 2(y - x)
= (y - x)(y + x) - 2(y - x)
= (y - x)(y + x - 2)
f(y) - f(x) = (y - x)(y + x - 2)
3) montrer que si 1 ≤ x ≤ y alors f(y) - f(x) ≥ 0
f(y) - f(x) = (y - x)(y + x - 2)
x ≤ y ⇔ 0 ≤ y - x ⇔ y - x ≥ 0
y ≥ 1
x ≥ 1
...............
y + x ≥ 2 ⇔ y + x - 2 ≥ 0
donc (y - x)(y + x - 2) ≥ 0 donc f(y) - f(x) ≥ 0
4) montrer de la même manière que si x ≤ y ≤ 1 alors f(y) - f(x) ≤ 0
x ≤ y ⇔ 0 ≤ y - x ⇔ y - x ≥ 0
y ≤ 1
x ≤ 1
...............
y + x ≤ 2 ⇔ y + x - 2 ≤ 0
donc (y - x)(y + x - 2) ≤ 0 donc f(y) - f(x) ≤ 0
Explications étape par étape :
