Bonjour,
D'après l'énoncé, on considère f définie sur [tex]$\mathbb{R}$[/tex] tel que :
[tex]f(x) = (x^2 - 2x + 1)e^{-x}[/tex]
1. Soit x ∈ [tex]$\mathbb{R}$[/tex]
On a [tex]e^{-x}[/tex] [tex]> 0[/tex] par propriété de la fonction exponentielle.
Donc f est du signe de [tex]x^2 - 2x + 1[/tex]
On remarque que [tex]x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2[/tex] (identité remarquable)
Donc [tex]x^2 - 2x + 1 \geq 0[/tex]
Donc la fonction f est positive.
2. f est un produit de fonctions dérivables sur [tex]$\mathbb{R}$[/tex]. Donc f est dérivable sur [tex]$\mathbb{R}$[/tex] et on a :
[tex]f'(x) = (2x-2)e^{-x} - (x^2-2x+1)e^{-x} = e^{-x}(2x-2-x^2+2x-1)[/tex]
[tex]f'(x) = (-x^2+4x-3)e^{-x}[/tex]
3. On a [tex]e^{-x}[/tex] [tex]> 0[/tex] par propriété de la fonction exponentielle.
Donc f' est du signe de [tex]-x^2 + 4x - 3[/tex]
On remarque que 1 est racine de [tex]-x^2 + 4x - 3[/tex].
Donc [tex]-x^2+4x-3[/tex] est factorisable par (x-1)
On trouve :
[tex]-x^2 + 4x - 3 = (x-1)(-x+3) = -(x-1)(x-3)[/tex]
[tex]-x^2 + 4x - 3[/tex] est positif pour [tex]x \in [1;3][/tex], négatif sinon.
Donc f' est négative sur ]-∞;1], positive sur [1;3] puis négative sur [3;+∞[
Donc f est décroissante sur ]-∞;1], croissante sur [1;3] puis décroissante sur [3;+∞[
4. f' est un produit de fonctions dérivables sur [tex]$\mathbb{R}$[/tex]. Donc f' est dérivable sur [tex]$\mathbb{R}$[/tex] et on a :
[tex]f''(x) = (-2x + 4)e^{-x} -(-x^2+4x-3)e^{-x} = e^{-x}(-2x+4+x^2-4x+3)[/tex]
[tex]f''(x) = e^{-x}(x^2-6x+7)[/tex]
De la même façon que précédemment, f'' est du signe de [tex]x^2 - 6x + 7[/tex]
On étudie ses racines. On a :
Δ = [tex]36 -28 = 8 > 0[/tex]
Donc f'' admet 2 racines réelles :
[tex]x1 = \frac{6 + 2\sqrt{2} }{2} = 3+\sqrt{2}[/tex]
[tex]x2 = \frac{6-2\sqrt{2} }{2} = 3 - \sqrt{2}[/tex]
f'' est positive sur ]-∞; 3-√2], négative sur [3-√2 ; 3+√2] et négative sur [3+√2 ; +∞[
Donc f est convexe sur ]-∞; 3-√2], concave sur [3-√2 ; 3+√2] et convexe sur [3+√2 ; +∞[
5. Voir pièce jointe
