Réponse :
1) d'après le th.Pythagore a² = h² + (a/2)² ⇔ h² = a² - (a/2)²
⇔ h² = a² - a²/4 = 3 a²/4 ⇒ h = (a√3)/2
2) justifier que ce repère est orthonormé
ABCD est un carré donc AB = BC et (AB) ⊥(BC)
donc le repère (B , C , A) est un repère orthonormé
3) donner les coordonnées de E et F
E(1/2 ; (√3)/2) et F(1+ (√3/2) ; 1/2) = ((2+√3)/2 ; 1/2)
4) prouver que AE = √(2-√3) et EF = √2. Calculer AF
vec(AE) = (1/2 ; (√3/2 - 1)) = (1/2 ; (√3 - 2)/2)
⇒ AE² = (1/2)² + ((√3 - 2)/2)²
= 1/4 + (√3 - 2)²/4
= 1/4 + (3 - 4√3 + 4)/4
= (8 - 4√3)/4
= 4(2 - √3)/4
= 2 - √3
AE² = 2 - √3 ⇔ AE = √(2-√3)
vec(EF) = ((2+√3)/2 - 1/2 ; 1/2 - √3/2) = ((1+√3)/2 ; (1-√3)/2)
⇒ EF² = ((1+√3)/2)² + ((1-√3)/2)² = ((1+√3)² + (1-√3))²/4
= (1 + 2√3 + 3 + 1 - 2√3 + 3)/4
= 8/4
= 2
EF² = 2 ⇔ EF = √2
vec(AF) = ((2+√3)/2 ; 1/2 - 1) = ((2+√3)/2 ; - 1/2)
AF² = (2+√3)²/4 + 1/4 = (4 + 4√3 + 3 + 1)/4 = (8 + 4√3)/4 = 4(2+√3)/4
AF² = 2 + √3 ⇔ AF = √(2+√3)
5) (√(2+√3) - √(2-√3))² = 2+√3 + 2-√3 - 2√(2+√3)(2-√3)
= 4 - 2√(4 - 3)
= 4 - 2
= 2
5) (√(2+√3) - √(2-√3))² = 2 ⇔ (√(2+√3) - √(2-√3)) = √2
AF - AE = EF ⇔ AF = AE + EF
Donc les points A , E et F sont alignés
Explications étape par étape :
