Réponse :
1) démontrer que pour un triangle équilatéral MNP de côté 1 m la hauteur vaut √(3)/2
soit H le projeté de N sur (MP) donc le triangle MNH est rectangle en H
donc d'après le th.Pythagore on a; MN² = NH²+MH²
⇔ NH² = MN² - MH² ⇔ NH² = 1² - (1/2)² = 1 - 1/4 = 3/4
d'où la hauteur NH = √(3/4) = √(3)/2
2) repère (A ; vec(AB) ; vec(AD)
A(0 ; 0) B(1 ; 0) C(1 ; 1) D(0 ; 1) E(1/2 ; √(3)/2) F((√(3) + 2)/2 ; 1/2)
3) vec(DE) = (1/2 ; √(3)/2 - 1) = (1/2 ; (√(3) - 2)/2)
4) vec(DF) = (1 + √(3)/2 ; 1/2 - 1) = ((√(3) + 2)/2 ; - 1/2)
5) existe t-il un réel k tel que vec(DF) = k x vec(DE)
vec(DF) = ((√(3) + 2)/2 ; - 1/2) = k(1/2 ; ((√(3) - 2)/2)
⇔ k/2 = √(3) + 2)/2 ⇔ k = √(3) + 2
⇔ k(√(3) - 2)/2 = - 1/2 ⇔ k = - 1/(√(3) - 2) = - (√(3) + 2)/(√(3) - 2)(√(3) + 2)
⇔ k = - (√(3) + 2)/(3 - 4) = √(3) + 2)
donc il existe un réel k = √(3) + 2 tel que vec(DF) = kvec(DE)
donc les vecteurs DF et DE sont colinéaires
6) les points D; E et F sont alignés
Explications étape par étape :
