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Bonjour, exo un peu dur
"La suite numérique (Vn) est définie par V0 = 0 et la relation de récurrence : Pour tout entier naturel n, Vn+1 = Vn + 2n+2
1) Montrer que la suite (Vn) n'est PAS arithmétique.
2) On considère la suite des différences (Wn) définie par : Pour tout entier naturel n, Wn = Vn + 1 -Vn
2.1) Démontrer que la suite (Wn) est une suite arithmétique.
2.2) En déduire la forme explicite (en fonction de n) du terme général Wn.
3) On considère la suite des sommes (Sn) définie par : Pour tout entier naturel n, Sn = W0 + W1 + ...+ Wn.
3.1) Démontrer que pour tout n, on a : Sn = (n+1) (n+2).
3.2) Démontrer que l'on a aussi :
Sn= Vn+1 - V0 = Vn+1.
3.3) En déduire une forme explicite du terme général Vn."

Sagot :

Réponse :

1) la suite ([tex]V_{n}[/tex]) n'est pas arithmétique en effet:

[tex]V_{n+1}-V_{n}=2n+2[/tex]

or 2n+2 n'est pas constant d'ou le résultat

2.1)On a:

[tex]W_{n+1}-W_{n}=2(n+1)+2 -(2n+2)=2[/tex]

Ainsi la suite ([tex]W_{n}[/tex]) est arithmetique de raison 2

2.2)D'apres la question 2) on en deduit que :

[tex]W_{n}=W_{0}+2n=2+2n=2(n+1)[/tex]

3.1)

[tex]S_{n}= \sum\limits^n_ {k=0} \,2k+2=2\sum\limits^n_ {k=0} \,k+ \sum\limits^n_ {k=0} \,2=2\frac{n(n+1)}{2} +2(n+1)=(n+1)(n+2)[/tex]

3.2)

[tex]S_{n}= \sum\limits^n_ {k=0} \, W_{k}= \sum\limits^n_ {k=0} \, V_{k+1}-V_{k} = \sum\limits^{n+1}_ {k=1} \, V_{k}-\sum\limits^n_ {k=0} \, V_{k}= V_{n+1}-V_{0}[/tex]

3.3)On a alors

[tex]V_{n+1}=V_{0} +S_{n} =(n+1)(n+2)\\donc\\ V_{n} =n(n+1)[/tex]

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