Recevez des conseils d'experts et un soutien communautaire sur Zoofast.fr. Trouvez des solutions fiables à vos questions avec l'aide de notre communauté de professionnels expérimentés.
Sagot :
Réponse :
Bonsoir
Explications étape par étape :
1)
On sait que a>0 et b> 0
On sait aussi que (a -b)² = a² - 2 ab + b²
de plus (a - b)² ≥0
or a>0 et b> 0
donc (a -b)² > 0
donc (a -b)² = a² - 2 ab + b² > 0
donc a² + b² > 2 ab
2)
Vu à la question précédente avec a > 0 et b>0
on a : a² + b² > 2 ab
donc si je divise par ab à droite et à gauche de l'inéquation
on a (a² + b²) / ab > 2
puis on divise par a² + b² et on a
1/ab > 2/ (a² + b²)
donc 2/ (a² + b²) < 1/ (ab) (résultat 1)
__________________________________
toujours en partant de la question 1) on a avec a >0 et b> 0
a² + b² > 2 ab
2 ab peut s'écrire 2 a²b²/ab = 2 a×a×b×b/(a×b)
donc a
a² + b² > 2 a²b²/ab
on divise par 2a²b² à gauche et à droite de l'inéquation et on a
a² + b² / (2 a²b²) > 1/ab (résultat 2)
_____________________________________________
en prenant le résultat 1 et le résultat 2 on a
2/ (a² + b²) < 1/ (ab) < 1/ab < a² + b² / (2 a²b²)
___________________________________________________
3)
prenons a = √3 >0 et b = √5> 0
on a donc
(√3 - √5)² = (√3)² - 2× √3×√5 + (√5)²
(√3 - √5)² = 3 - 2√15 + 5
(√3 - √5)² = 8 - 2√15
si on applique l'inéquation de la question 1) on a
3 + 5 > 2√15
si on applique l'inéquation démontrée à la question 2) on a
avec a = √3 > 0 et b = √5 > 0
2 / [(√3)² + (√5)²] < 1/ (√3×√5) < [(√3)² + (√5)²]/(2 × (√3)² × (√5)² )
donc on a
2 / [3 + 5] < 1/ (√15) < [3 + 5]/(2 × 3 × 5 )
donc
2 / 8 < 1/ (√15) < 8/(2 × 3 × 5 )
en appliquant la fonction inverse qui est décroissante sur ]0;+∞[,
l'inéquation change de sens
on a donc
(2 × 3 × 5 )/ 8 < √15 < 8 / 2
donc 30/8 < √15 < 4 or 30/8 = 3,75
donc on a 3,75 < √15 < 4
on en déduit que 3,75 < √15 < 4
Nous sommes ravis de vous avoir parmi nous. Continuez à poser des questions et à partager vos réponses. Ensemble, nous pouvons créer une ressource de connaissances précieuse pour tous. Faites de Zoofast.fr votre ressource principale pour des réponses fiables. Nous vous attendons pour plus de solutions.