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Bonjour, pourriez-vous m'aider sur l'exercice suivant ; A l'écran de sa calculatrice, Antoine a tracé les courbes représentatives des fonctions : x→x^2 + 2x et x→-x^2 + 6x - 2. a) Démontrez que ces deux courbes ont un unique point commun A. b) Démontrez que les deux courbes ont une tangente commune en A.
Vraiment je suis en galère totale donc toute aide serait la bienvenue :)
Merci

Sagot :

Réponse :

bonjour soient les fonctions f(x)=x²+2x et g(x)=-x²+6x-2 et Cf et Cg leurs courbes représentatives

Explications étape par étape :

a) Cf et Cg on t un seul point commun si l'équation f(x)=g(x) a une solution unique.

x²+2x=-x²+6x-2=2x²-4x+2=2(x²-2x+1)=2(x-1)²

solution unique x=1 c'est un point de tangence car les deux paraboles ont leurs sommets en sens opposé. Et elles ont, à priori, une tangente commune.

b)équation de la tangente  (T) à Cf en A (xA=1)

dérivée: f'(x)=2x+2    

donc y=f'(1)(x-1)+f1)=4(x-1)+3=4x-1   (T) y=4x-1

équation de la tangente (T') à Cg en A

dérivée g'(x)=-2x+6

donc y=g'(1)(x-1)+g(1)=4(x-1)+3=4x-1  (T')   y=4x-1

Les deux courbes ont bien une tangente commune en A

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