Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
Soit "x" le rayon de la base de la casserole et "h" sa hauteur ( mesure en dm).
Volume=πx²h
On veut une casserole de 2 L donc 2 dm³.
Donc on aura :
πx²h=2 qui donne : h=2/(πx²)
Maintenant , on va calculer l'aire de métal nécessaire pour fabriquer la casserole de 2 L.
Aire base=πx²
Aire latérale=2πxh ( Car le tour d'une casserole développé est un rectangle de longueur "2πx" et de largeur "h).
Mais h=2/(πx²) donc :
Aire latérale=2πx*2/(πx²)=4/x
Aire totale de métal=f(x)=πx²+(4/x)
On va montrer que f(x) passe par un minimum pour une certaine valeur de "x".
f '(x)=2πx - (4/x²)
f '(x)=(2πx³-4) / x²
f '(x)=2(πx³-2)/x²
Donc f '(x) est du signe de (πx³-2).
La fct cube est strictement croissante.
On résout :
πx³-2 > 0
x³ > 2/π
x > ∛(2/π) ≈ 0.86 ( en dm)
D'où le tableau de variation ( D=flèche qui descend et C=flèche qui monte ) :
x------>0............∛(2/π).............+∞
f '(x)-->..........-....0..............+.........
f(x)--->......D.......?........C...........
Ce tableau de variation montre que la surface de métal nécessaire pour fabriquer une casserole de 2 L passe par un minimum qui vaut environ 0.86 dm (8.6 cm).
Avec h=2/(πx²) , on va trouver la mesure de "h" qui correspond à x=0.86 :
h=2/(π*0.86²)
h=0.86 ( en dm).
On a la surface de métal minimale avec le rayon de base et la hauteur qui ont même valeur !!
Pour que la démonstration soit valable quel que soit le volume , il faudrait remplacer 2L par Vo par exemple et refaire toute la démonstration !
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J'ai retrouvé une démonstration que j'avais faite avec V le volume de la casserole , quel qu'il soit et S la surface totale de métal nécessaire pour la fabriquer.
Voici le détail de la démonstration :
h=V/(pi*x²) : OK.
aire latérale= périmètre base * h = 2*pi*x*V/(pi*x²)=2V/x
aire du fond =pi*x²
aire totale =S(x)= pi*x²+(2V/x)
S '(x)=2*pi*x- (2V/x²)--->ligne (1)
Mais on a vu que : h=V/(pi*x²) , ce qui donne : V/x²=pi*h
Dans (1), on remplace V/x² par pi*h et on a :
S '(x)=2*pi*x-2*pi*h
S '(x)=2*pi(x-h)
S' (x) est donc du signe de (x-h)
Si x < h alors (x-h) < 0 et S ' < 0 .
Si x > h alors (x-h) > 0 et S ' > 0 .
Si x = h alors (x-h) = 0 et S ' = 0 .
Tableau de variation :
x------------>0.................h.................+inf
S '(x)----->...........-.........0..........+...........
S(x)------>.........D..........?............C.....
S(x) passe donc par un minimum quand x=h ( rayon de base=hauteur).
