Réponse :
1) pour tout réel x ≠ 0 f(x) = 1/x admet une tangente // à l'axe des abscisse ; faux car la fonction dérivée f ' en 0 n'est pas définie en 0
f '(x) = - 1/x² définie sur R*
2) f(x) = x² (C) et g(x) = x³ (C')
il existe un unique réel a tel que C et C' aient des tangentes // au point d'abscisse a
f '(x) = 2 x ⇒ f '(a) = 2 a
g '(x) = 3 x² ⇒ g '(a) = 3 a²
f '(a) = g '(a) ⇔ 2 a = 3 a² ⇔ 3 a² - 2 a = 0 ⇔ a(3 a - 2) = 0
a = 0 ou a = 2/3 , donc il existe deux réels a = 0 ou a = 2/3
Donc la proposition est fausse
3) f(x) = √x x positif
√x admet une tangente // à la droite D d'équation y = x + 1
f '(x) = 1/2√x x > 0
f '(x) = 1 ⇔ 1/2√x = 1 ⇔ 1 = 2√x ⇔ √x = 1/2 ⇔ x = 1/4
proposition vraie
Explications étape par étape :
