Bonjour
I) Résoudre dans R les équations suivantes :
a) 1/(x-2)+1/(x+1)=1/2.
avec x - 2 # 0 et x + 1 # 0
x # 2 et x # -1
[(x + 1) + (x - 2)] / (x - 2)(x + 1) = 1/2
2(x + 1 + x - 2) = (x - 2)(x + 1)
2(2x - 1) - (x - 2)(x + 1) = 0
4x - 2 - (x^2 + x - 2x - 2) = 0
4x - 2 - x^2 + x + 2 = 0
-x^2 + 5x = 0
x(-x + 5) = 0
x = 0 ou -x + 5 = 0
x = 0 ou x = 5
b) 1/(x-2)+x/(x+2)=11-x/x²-4.
Avec x - 2 # 0 et x + 2 # 0
x # 2 et x # -2
[(x + 2) + x(x - 2)]/(x - 2)(x + 2) = (11 - x)/(x^2 - 2^2)
(x + 2 + x^2 - 2x)/(x - 2)(x + 2) = (11 - x)/(x - 2)(x + 2)
x^2 - x + 2 = 11 - x
x^2 - x + x - 11 + 2 = 0
x^2 - 9 = 0
x^2 - 3^2 = 0
(x - 3)(x + 3) = 0
x - 3 = 0 ou x + 3 = 0
x = 3 ou x = -3
II) Résoudre dans R les inéquations suivantes :
c) x²-6x-7/5-2x > 0 et
Avec 5 - 2x # 0
2x # 5
x = 5/2
x^2 - 6x - 7 = 0
[tex]\Delta = (-6)^{2} - 4 * 1 * (-7) = 36 + 28 = 64[/tex]
[tex]\sqrt{\Delta} = 8[/tex]
x1 = (6 - 8)/2 = -2/2 = -1
x2 = (6 + 8)/2 = 14/2 = 7
x…………….|-inf……….(-1)………5/2……..7…….+inf
x^2-6x-7..|……..(+)…..o….(-)………(-)….o…(+)…….
5 - 2x…….|………(+)………..(+)…o…(-)………(-)……..
Ineq……….|……..(+)….o…..(-)….||….(+)…o….(-)……
[tex]x \in ]-\infty ; -1[ U ]5/2 ; 7[[/tex]
d) x(x+1)/x-1 < 2x.
Avec x - 1 # 0
x # 1
x(x + 1) < 2x(x - 1)
x^2 + x < 2x^2 - 2x
2x^2 - x^2 - 2x - x > 0
x^2 - 3x > 0
x(x - 3) > 0
x - 3 = 0
x = 3
x…………| -inf…….0……..3……..+inf
x…………|……..(-)…o…(+)…..(+)……..
x - 3……|……..(-)………(-).o….(+)……
Ineq……|……..(+)..o….(-)..o…(+)……
[tex]x \in ]-\infty ; 0[ U ]3 ; +\infty[[/tex]
III) Résoudre dans R×R le système d'équation suivant : {x⁴+y⁴=17 °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° xy=-1
x = -1/y
(-1/y)^4 + y^4 = 17
1/y^4 + y^4 = 17
1 + y^8 = 17y^4
y^8 - 17y^4 + 1 = 0
On remplace y^4 par Y :
Y^2 - 17Y + 1 = 0
[tex]\Delta = (-17)^{2} - 4 * 1 * 1 = 289 - 4 + 285[/tex]
Y1 = (17 - V285)/2 ~ 0,059
Y2 = (17 + V285)/2 ~ 16,94
y^4 = (17 - V285)/2 ou y^4 = (17 + V285)/2
y ~ 0,49 ou y ~ 2,03
xy = -1
x ~ -1/0,49 ~ -2,03
x ~ -1/2,03 ~ -0,49
{-2,03 ; 0,49} ou {-0,49 ; 2,03}
