Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
exo 1 :
a)
f(x)=0 ==>x ≈ 0.5
f(x) < -2 ==> x ∈ ]-5;-1[
b)
f '(x)=0 : ==>tgtes horizontales donc pour :
x=-2 et x=1
c)
f '(0) est la pente de la tgte en x=0.
f '(0) ≈ 2.5
d)
x--------->-∞...................-2.................1.................+∞
f '(x)----->........-..............0........+.........0......-...........
f(x)------->..........D.......≈-3.2....C.........≈2.3.......D......
D=flèche qui descend et C=flèche qui monte.
Exo 2 :
a)
Il faut x+1 ≠ 0 soit x≠-1
Df=IR-{1}
b)
La limite en - et + ∞ :
f(x)=x(4+3/x)/x(1+1/x)
On simplifie par x qui est ≠ 0.
f(x)=(4+3/x) / (1+1/x)
Quand x tend vers - ou +∞ : 3/x et 1/x tendent vers zéro.
Donc :
lim f(x)=4/1=4
Limite en x=-1 avec x < -1 :
Le numérateur tend vers -4+3=-1 et le déno tend vers zéro par valeurs négatives .
Donc :
lim f(x)=+∞ ( quotient de 2 nbs < 0)
Limite en x=-1 avec x > -1 :
Le numérateur tend vers -4+3=-1 et le déno tend vers zéro par valeurs positives .
Donc :
lim f(x)=-∞ ( quotient d'un nb négatif et d'un nb positif)
On a donc 2 asymptotes :
y=4 et x=-1
c)
f est de la forme u/v.
u=4x+3 donc u'=4
v=x+1 donc v'=1
f '(x)=[4(x+1)-(4x+3)]/(x+1)²=
f '(x)=1/(x+1)²
d)
f ' (x) est toujours positive donc f(x) toujours croissante.
Tu fais le tableau.
e)
Equa tgte en x=0 :
y=f '(0)(x-0)+f(0)
f '(0)=1 et f(0)=3
y=x+3
f)
Il faut calculer f "(x).
f '(x)=1/(x+1)² ou f '(x)=1/(x²+2x+1)
La dérivée de 1/u est -u'/u².
Ici u=x²+2x+1 donc u'=2x+2
f "(x)=(-2x-2)/(x+1)^4
f "(x) s'annule et change de signe pour :
-2x-2=0 soit x=-1
f "(x) < 0 pour x > -1 et f "(x) > 0 pour x < -1.
f(x) est convexe pour x ∈ ]-∞;-1[ et concave pour x ∈ ]-1;+∞[
g)
Tu fais seul.
h)
On résout :
(4x+3)/(x+1)=x
4x+3=x(x+1)
x²+x-4x-3=0
x²-3x-3=0
Δ=(-3)²-4(1)(-3)=21
x1=(3-√21)/2 ≈ -0.8
x2=(3+√21)/2 ≈ 3.8
