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Bonjour , je suis nouveaux dans la plateforme et j'ai du mal sur ce chapitre(suite) pouvez vous m'aider a faire mon DM , merci d'avance.
voici l'énonce:
La loi de refroidissement de Newton stipule que le taux d'évolution de la
température d'un corps est proportionnel à la différence entre la température de
ce corps et celle du milieu environnant. On suppose pour cela que le milieu et le
corps sont homogènes et aussi que le milieu est à température constante.
Une tasse de café est servie à une température initiale de 80°C dans un milieu dont la température
est supposée constante et égale à 20°C. On va étudier à l'aide d'une suite le refroidissement du café
en appliquant la loi de Newton.
Pour tout entier naturel n, on note Tn
la température du café à l'instant n avec Tn exprimé en
degrés Celsius et n en minutes.
On a ainsi T0=80. On modélise cette expérience entre deux minutes consécutives quelconques n
et n+1 par l'égalité Tn+1−Tn=−0,2(Tn−20).
1) Conjecturer d'après le contexte le sens de variation de la suite (Tn
) ainsi que sa limite.
2) Montrer que, pour tout entier naturel n, Tn+1=0,8Tn+4.
3) a) A l'aide d'une suite géométrique (un
) à définir, exprimer Tn en fonction de n.
b) Déterminer alors la limite de la suite (Tn
).
4) On considère le programme
Python ci-contre.
a) Quelle valeur retourne ce
programme pour S=30?
b) Interpréter cette valeur dans le
contexte de l'exercice.

Sagot :

Réponse :

Explications étape par étape :

1) la t° du café diminue quand le temps augmente donc la suite Tn est décroissante,la limite sera la t° du milieu soit 20°C

2)Tn+1 - Tn= - 0,2 ( Tn - 20)

          Tn+1= Tn - 0,2 ( Tn -20) = Tn - 0,2 Tn + 4

          Tn+1 = 0,8 Tn + 4

3 )a) soit la suite (un) telle que  un =Tn - 20

alors un+1= Tn+1 - 20= 0,8 Tn +4 - 20= 0,8 Tn - 16  factoriser :0,8

          un+1=0,8 (Tn -20) = 0,8 un donc(un):suite géométrique de raison:0,8

et u0= T0 -20=80 - 20=60 alors un=u0x q^n+1

donc un=60(0,8)^n+1

or un =Tn -20  soit Tn =un + 20  Tn= 60 (0,8)^n+1 +20

b)la raison 0,8 <1 donc qd n augmente (0,8)^n+1 devient infiniment petit donc  60(0,8)^n+1 tend vers 0 alors Tn tend vers 20°c

donc limTn qd n-> OO=20

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