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Bonjour
1. Factoriser le polynôme:
2X^3-X^2-5X-2
Il faut chercher une racine évidente : -1
= 2(-1)^3 - (-1)^2 - 5 * (-1) - 2
= 2 * (-1) - 1 + 5 - 2
= -2 - 3 + 5
= 0
Donc ce polynôme est factorisé par (x + 1)
2x^3 - x^2 - 5x - 2 = (x + 1)(ax^2 + bx + c)
2x^3 - x^2 - 5x - 2 = ax^3 + bx^2 + cx + ax^2 + bx + c
2x^3 - x^2 - 5x - 2 = ax^3 + (a + b)x^2 + (b + c)x + c
a = 2
a + b = -1 => b = -1 - a = -1 - 2 = -3
b + c = -5 => c = -5 - b = -5 -(-3) = -5 + 3 = -2
c = -2
2x^3 - x^2 - 5x - 2 = (x + 1)(2x^2 - 3x - 2)
On recherche une autre racine évidente : 2
= 2 * 2^2 - 3 * 2 - 2
= 2 * 4 - 6 - 2
= 8 - 8
= 0
2x^2 - 3x - 2 = (x - 2)(ax + b)
2x^2 - 3x - 2 = ax^2 + bx - 2ax - 2b
2x^2 - 3x - 2 = ax^2 + (b - 2a)x - 2b
a = 2
b - 2a = -3 => b = -3 + 2a = -3 + 2 * 2 = 1
-2b = -2 => b = -2/-2 = 1
2x^2 - 3x - 2 = (x - 2)(2x + 1)
2x^3 - x^2 - 5x - 2 = (x + 1)(x - 2)(2x + 1)
2. Résoudre, dans ]-pi; pi] l'équation : 2sin^3x + cos^2x - 5sin x – 3 = 0
(On pourra poser X = sin x)
Il suffit de remplacer sin x par X :
Et d’après 1) on a déterminé la factorisation :
(X + 1)(X - 2)(2X + 1) = 0
X + 1 = 0 ou X - 2 = 0 ou 2X + 1 = 0
X = -1 ou X = 2 ou 2X = -1
X = -1 ou X = 2 ou X = -1/2
On remplace X par sin x :
Sin x = -1 ou sin x = 2 ou sin x = -1/2
Il suffit de prendre un cercle trigonométrique (voir photo en pièce jointe) :
Sin x = -1
x = (3pi)/2 + 2k pi
Sin x = 2
x = pas de solution
Sin x = -1/2
Et sin (pi - x) = -1/2
x = 7pi/6 + 2k ou x = 11pi/6 + 2k
