Bonjour,
1) On a 17 = 18 - 1 donc n+17 = (n-1) + 18
6 divise 18.
Comme 6 divise n+17, ça veut dire que 6 divise n-1
Il existe un entier relatif k tel que n-1 = 6k
C'est à dire tel que n = 6k + 1
Les entiers n tels que 6 divise n+17 sont donc les nombres de la forme {6k+1, k∈Z}
Pour que n soit un entier naturel, il faut que 6k+1 ≥ 0. C'est à dire k ≥ -1/6
Les entiers naturels n tels que 6 divise n+17 sont donc les nombres de la forme {6k+1, k∈N}
2) a) 2n - 5 divise 6.
Les diviseurs de 6 sont -6; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 6
On cherche n tel que 2n - 5 = -6. Aucune solution dans Z.
On effectue la même opération pour les autres diviseurs de 6.
On trouve les possibilités suivantes :
n = 1, n=2 , n=3 et n=4
Donc l'ensemble des solutions est {1;2;3;4}
b) 2n+3 divise (n-2) et 2n+3 divise (2n+3) alors il divise toutes les combinaisons linéaires a(n-2) + b(2n+3).
2n+3 divise notamment (2n+3) -2(n-2) = 2n + 3 -2n + 4 = 7
Or les diviseurs de 7 sont -7;-1;1 et 7.
On cherche n tel que 2n+3=-7. On trouve n = -5
On cherche n tel que 2n+3 = -1. On trouve n= -2
On cherche n tel que 2n+3=1. On trouve n=-1
On cherche n tel que 2n+3=7. On trouve n=2
Donc l'ensemble des solutions est {-5;-2;-1;2}
