Réponse :
bonjour
Explications étape par étape :
aire d'un rectangle : L x l avec ici L = MN ey l = x
pour calculer MN
on demande à Thalès de nous aider :
le codage dit : (MN) et (AB) ⊥ à (AC) donc (MN) // (AB)
(AC) et (BC) sécante en C
les points C ; M; A et C ; N ; B alignés et dans le meme ordre
les longueurs des cotés des triangles ACB et MCN sont proportionnelles 2 à 2
on donc CM/CA = MN / AB
MN = CM x AB / CA
avec CM = 3 - x AB = 3 et CA = 3
⇒ MN = (3-x) × 3/3
⇒ MN = 3 - x
l'aire de AMNP est donc définie par :
AM x MN = x × (3 - x)
a) intervalle : 0 ≤ x ≤3
b) A(x) = - (x - 3/2)² + 9/4
⇒ A(x) = 9/4 - (x - 3/2)²
⇒ A(x) = (3/2)² - (x - 3/2)²
⇒ on reconnait une identité remarquable telle que a² - b² = (a - b)(a + b)
⇒ A(x) = (3/2 - x + 3/2) (3/2 + x - 3/2)
⇒ A(x) = (6/2 - x) x
⇒ A(x) = x(3 - x) donc A(x) aire de AMNP = - (x-3/2)² + 9/4
donc pour x = 0 et x = 3 l'aire de AMNP est = 0
c) et pour x = 3/2 l'aire de AMNP est maximale et est = 9/4
donc A croissante sur 0 ≤ x ≤ 3/2 et A décroissante sur 3/2 ≤ x ≤ 3
tableau de variations ⇒ voir pièce jointe
d) M(3/2 ; 9/4)
bonne aprèm
