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Réponse :
Bonjour,
1) Voir la figure de l'énoncé en pièce jointe.
2) Dans le cas de la longueur AB:
Note (en sautant les étapes): [tex](x_A - x_B)^2 = (x_B - x_A)^2[/tex]
L'ordre des coordonnées n'a pas d'importance, car un carré est toujours positif.
[tex]AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\\\= \sqrt{(-2 - (-3))^2+(1-3)^2}\\\\= \sqrt{1 + 4}\\\\= \sqrt{5}[/tex]
Le même raisonnement s'applique pour les longueurs BC et AC.
[tex]BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2+(y_C - y_B)^2}\\\\= \sqrt{(4-(-3))^2+(0-1)^2}\\\\= \sqrt{49 + 1}\\\\= \sqrt{50}[/tex]
[tex]AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2}\\\\= \sqrt{(4 - (-2))^2+(0 - 3)^2}\\\\= \sqrt{36 + 9}\\\\= \sqrt{45}[/tex]
3) On sait qu'ABC est un triangle tel que AB = √5 ; BC = √50 et AC = √45.
[tex]BC^2 = \sqrt{50}^2 = 50[/tex]
[tex]AB^2 + AC^2 = \sqrt{5}^2 + \sqrt{45}^2 = 50[/tex]
On constate que BC² = AB² + AC²
Donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.
4) BC = √50
= √25 × √2
= 5√2
AC = √45
= √9 × √5
= 3√5
5) Dans le triangle ABC rectangle en A, on a la base AB et la hauteur AC.
[tex]A_{ABC} = \dfrac{b \times h}{2}\\\\= \dfrac{AB \times AC}{2}\\\\= \dfrac{\sqrt{5} \times 3\sqrt{5}}{2}\\\\= \dfrac{15}{2}[/tex]
6) L'aire d'ABC peut également se calculer avec la base BC et la hauteur AH.
[tex]A_{ABC} = \dfrac{b \times h}{2}\\\\A_{ABC} = \dfrac{BC \times AH}{2}\\\\\dfrac{15}{2} = \dfrac{5\sqrt{2}}{2} \times AH\\\\AH = \dfrac{\dfrac{15}{2}}{\dfrac{5\sqrt{2}}{2}}\\\\AH = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}[/tex]
