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Exercice 4 Soit le nombre : A=5² x 7³
1) Quels les diviseurs de A.
2) Trouver le plus petit entier naturel non nul k tel que KA soit le carré d'un entier naturel.
3) Trouver le plus petit entier naturel non nul m tel que mA soit le cube d'un entier naturel.​

Sagot :

bjr

1)

diviseurs de A = 5² x 7³

      1             1

     5            7

     5²          7²

                   7³

on multiplie tous les nombres de la première colonne par tous le nombres de la 2e colonne

Il y a 3 x 4 = 12 diviseurs

12  c'est (2+1) x (3 + 1)

Ce nombre s'obtient en multipliant les exposants des facteurs premiers après leur avoir ajouté 1

les 12 diviseurs de A

   1           5                 5²

  7           5 x 7           5² x 7

  7²         5 x 7²          5² x 7²

  7³         5 x 7³          5² x 7³

2)

Trouver le plus petit entier naturel non nul k tel que kA soit le carré d'un entier naturel.

kA sera un carré si et seulement si tous les exposants des facteurs premiers sont pairs

A = 2² x 7³

le plus petit nombre par lequel il faut multiplier A pour avoir tous les exposants pairs est 7

7A = 2² x 7⁴

2² x 7⁴ = (2 x 7²)²

on a alors le carré de 2 x 7²

réponse : 7

3) tous les exposants doivent être des multiples de 3

il faut multiplier par 2

2A = 2³ x 7­³ = (2 x 7)³     c'est le cube de 2 x 7

réponse : 2

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