Réponse :
1) a) Montrer que ^BOC = 2α
le triangle AOC est isocèle en O car OA = OC = r
donc ^OAC = ^OCA = α
^AOC = 180° - ^BOC
la somme des angles dans le triangle AOC est :
^AOC + ^OAC + ^OCA = 180° ⇔ 180° - ^BOC + 2α = 180°
⇔ - ^BOC + 2α = 0 ⇔ ^BOC = 2α
b) calculer β en fonction de α
BOC triangle isocèle en O car OB = OC = r
^OCB = ^OBC = β
2α + 2β = 180° ⇔ 2β = 180° - 2α ⇔ β = (180° - 2α)/2 ⇔ β = 90° - α
en déduire que l'angle ^ACB est droit
α + β + ^ACB = 180° ⇔ α + (90° - α) + ^ACB = 180°
⇔ 90° + ^ACB = 180° ⇔ ^ACB = 180° - 90° = 90°
2) a) montrer que cos (α) = AH/AC = AC/AB
Triangle ACH rectangle en H on a; cos (α) = AH/AC
Triangle ABC rectangle en C, on a; cos (α) = AC/AB
d'où l'on obtient AH/AC = AC/AB
b) montrer que AH = 1 + cos (2α)
triangle COH rectangle en H on a cos (2α) = OH/OC
or OC = r = AB/2 = 1 et OH = AH - OA = AH - 1 car OA = r = 1
donc cos (2α) = AH - 1 ⇔ AH = 1 + cos (2α)
c) exprimer cos (2α) en fonction de cos (α)
AH/AC = AC/AB ⇔ AH = AC²/AB ⇔ 1 + cos(2α) = 4 cos² (α)/2
⇔ 1 + cos(2α) = 2 cos² (α) ⇔ cos(2α) = 2cos²(α) - 1
d) en déduire que cos (α) = √((1 + cos (2a))/2)
cos(2α) = 2cos²(α) - 1 ⇔ 2 cos²(α) = 1 + cos (2α) ⇔ cos²(α) = (1+cos(2α))/2
⇔ cos (α) = √((1 + cos (2a))/2)
3) calculer les valeurs exactes de cos(π/8) et de cos (π/12)
cos (π/8) = √(1+ cos(π/4)/2) or cos(π/4) = √2/2
= √(1 + √2/2)/2)
= √(2+√2)/2
cos(π/12) = √(1+cos(π/6))/2) cos(π/6) = √3/2
= √(2+√3)/2
Explications étape par étape :
