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Soit f la fonction définie sur R par :
-
f(x) = -4x3 - 9x2 - x + 4
a- Vérifier que -1 est racine de f.
b- Déterminer les réels a et b tels que, pour tout x de R,
f(x) = (x + 1)(ax2 + bx + c)
C- Résoudre l'inéquation f(x) > 0
Pouvez vous m’aider c’est pour un devoir maison svp ?

Sagot :

Aeneas

Bonjour,

a) Dire que x est racine de f, signifie que f(x) = 0

Ici on cherche à savoir si -1 est racine de f.

On calcule donc f(-1) = -4(-1)^3 -9(-1)² -(-1) + 4

f(-1) = 4 - 9 + 1 + 4 = 0

Donc -1 est bien racine de f.

B. On cherche a,b,c tels que f(x) = (x+1)(ax² + bx + c)

f(x) = ax^3 + bx² + cx + ax² + bx + c

f(x) = ax^3 + (a+b)x² + (b+c)x + c

Deux polynômes sont égaux si leurs coefficients sont égaux.

Donc a = -4

a+b = -9 donc b = -9 + 4 = -5

b + c = -1 donc c = -1 -(-5) = 4

C. On a : f(x) = (x+1)(-4x² -5x +4)

On cherche à savoir quand f(x) > 0

Il nous faut le tableau de signe de -4x² -5x +4.

On calcule son discriminant :

Δ = (-5)² -4((-4)(4)) = 25 + 64 = 89

Donc les racines de -4x² -5x +4 sont :

(-5 - √89) / 8 et (-5 + √89) / 8

-4x² -5x +4 est négatif sur ]-∞; (-5 - √89) / 8], positif sur

[(-5 - √89) / 8;(-5 + √89) / 8] puis négatif sur [(-5 + √89) / 8; +∞[

x+1 est négatif sur [-∞;-1] et positif sur [-1;+∞[

-1 est compris entre  (-5 - √89) / 8 et (-5 + √89) / 8

Donc f(x) est positif sur  ]-∞; (-5 - √89) / 8], négatif sur  [(-5 - √89) / 8;-1],

positif sur [-1; (-5 + √89) / 8] puis négatif sur [(-5 + √89) / 8; +∞[

PS : fais un tableau de signe pour que ce soit plus clair :)