Bonjour,
2. Dans le triangle OAB, rectangle en B, on peut appliquer le théorème de Pythagore.
Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Donc on a OA² = OB² + AB²
On remplace par les valeurs numériques :
OA² = 1² + 2²
OA² = 5
OA est une longueur donc OA > 0
OA = √5 cm
On a BC = OB + OC
Or OA = OC
Donc BC = OB + OA
On remplace par les valeurs numériques :
BC = 1 + √5 cm
3. Soit Pr, le périmètre du rectangle ADCB, on a :
Pr = 2BC + 2AB
On remplace par les valeurs numériques :
Pr = 2(1 + √5) + 2x2
Pr = 2 + 2√5 + 4
Pr = 6 + 2√5 cm
Soit Ar, l'aire du rectangle ADCB, on a :
Ar = AB x BC
On remplace par les valeurs numériques :
Ar = 2 x (1 + √5)
Ar = 2 + 2√5 cm²
Soit Pc, le périmètre du carré BCEF, on a :
Pc = 4BC
On remplace par les valeurs numériques :
Pc = 4(1 + √5)
Pc = 4 + 4√5 cm
Soit Ac, l'aire du carré BCEF, on a :
Ac = BC²
On remplace par les valeurs numériques :
Ac = (1 + √5)²
Ac = 1 + 2√5 + 5
Ac = 6 + 2√5 cm²
4.a.
On a AF x AB = (AB + BF) x AB = (AB + BC) x AB (car BC = BF)
On remplace par les valeurs numériques :
AF x AB = (2 + 1 + √5) x 2
AF x AB = (3 + √5) x 2
AF x AB = 6 + 2√5
On a AD² = BC² (car ADCB est un rectangle donc AD = BC)
On remplace par les valeurs numériques :
AD² = (1 + √5)²
AD² = 6 + 2√5 (calculé précédemment pour l'aire du carré BCEF)
On remarque de AF x AB = AD²
4b.
On a AF x AB = AD².
On divise des deux côtés par (AD x AB) > 0
On a alors :
[tex]\frac{AF * AB}{AD * AB}[/tex] = [tex]\frac{AD^2}{AD * AB}[/tex]
On simplifie :
[tex]\frac{AF}{AD}[/tex] = [tex]\frac{AD}{AB}[/tex]
Or AD = BC = 1 + √5
Et AB = 2
Donc [tex]\frac{AF}{AD}[/tex] = [tex]\frac{AD}{AB}[/tex] = [tex]\frac{1+\sqrt{5} }{2}[/tex]
