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Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’exprimer sous la forme du quotient de deux nombres entiers a et b où b est non nul.
On sait que √5 n'est pas rationnel (1)
on veut démontrer que 1 + √5 n'est pas rationnel
• on suppose que 1 + √5 est un rationnel
alors il peut s'écrire sous la forme a/b, a et b entiers et b ≠ 0
si 1 + √5 = a/b alors √5 = a/b - 1
√5 = (a - b)/b
a et b étant deux entiers la différence a - b est un entier
et √5 peut s'écrire sous la forme du quotient de deux entiers ( a - b et b)
alors √5 est un rationnel
• Ceci est en contradiction avec (1)
c'est donc que la supposition "1 + √5 est un rationnel" est fausse
on en conclut que 1 + √5 est un irrationnel
