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Sagot :
Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
1)
On avait donc en 2021 : 50 milliers d'arbres.
Abattre 5% , c'est multiplier le nombre par (1-5/100)=0.95.
OK ?
Mais on ajoute ensuite 3 milliers d'arbres .
Donc en 2022 :
50 x 0.95+3=50.5 milliers d'arbres soit 50 500 arbres.
2)
D'une année sur l'autre comme dit en 1) , on multiplie le nombre par (1-5/100)=0.95 puis on ajoute 3 milliers d'arbres Donc:
U(n+1)=U(n) x 0.95 +3
OU :
U(n+1)=0.95*U(n)+3
3)
U(n+1)-U(n)=0.95*U(n)+3-U(n)=U(n)(0.95-1)+3 =-0.05*U(n)+3
qui n'est pas une valeur constante indépendante de "n" donc pas arithmétique.
U(n+1)/U(n)=[0.95U(n)+3] /U(n)=0.95U(n)/U(n) +3/U(n)=0.95+ 3/U(n) qui n'est pas une valeur constante indépendante de "n" donc pas géométrique.
4)
a)
V(n+1)=U(n+1)-60 mais U(n+1)=0.95*U(n)+3 , donc :
V(n+1)=0.95*U(n)+3-60
V(n+1)=0.95*U(n)-57 ==>On met 0.95 en facteur :
V(n+1)=0.95*[U(n)-60] mais U(n)-60=V(n) donc :
V(n+1)=0.95*V(n)
b)
Ce qui prouve que la suite (V(n)) est une suite géométrique de raison q=0.95 et de 1er terme V(0)=U(0)-60=50-60=-10
c)
On sait que :
V(n)=V(0)*q^n soit :
V(n)=-10*0.95^n
d)
Mais U(n)=V(n)+60 donc :
U(n)=-10*0.96^n+60
e)
U(10)=-10.95^10+60
U(10) ≈ 54.013
En 2031 , la forêt comptera environ 54 013 arbres.
f)
U(n+1)-U(n)=-10*0.95^(n+1)+60-(-10*0.95^n+60)
U(n+1)-U(n)=-10*0.95^(n+1) + 60 + 10*0.95^n - 60
U(n+1)-U(n)=-10*0.95^(n+1) + 10*0.95^n
Un+1)-U(n)=-10*0.95^n*0.95 + 10*0.95^n
On met : 10*0.95^n en facteur :
U(n+1)-U(n)=10*0.95^n(-0.95+1)
U(n+1)-U(n)=0.05*10*0.95^n
U(n+1)-U(n)=0.5*0.95^n mais 0.5=1/2 donc :
U(n+1)-U(n)=0.95^n/2
0.95^n/2 est un nombre positif donc :
U(n+1)-U(n) > 0 donc :
U(n+1) > U(n).
Suite croissante .
g)
On a vu que :
U(n)=-10*0.96^n+60
Quand n tend vers + ∞ :
lim 0.96^n=0 car -1 < 0.96 < 1.
lim -10*0.95^n=-10*0=0
lim (-10*0.95^n+60)=0+60=60
Au bout d'un grand nombre d'années , la forêt atteindra environ 60 000 arbres.
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