bjr
ex 1
dans cet exercice il faut penser aux produits remarquables
• f(x) = 9x² - 1
différence de deux carrés a² - b² = ......
9x² - 1 = (3x)² - 1² = (3x - 1)(3x + 1)
• g(x) a² - 2ab + b² = (a - b)²
4x² - 4x + 1 = [* = fois]
(2x)² - 2*2x*1) + 1²=
(2x - 1)²
• h(x) = 2x² + 2√2x + 1 (a + b)²
2x est le carré de x√2
1 est le carré de 1
le double produit est 2*x√2*1
= (√2x + 1)²
• i(x) = x⁴ + 10x² + 25 x⁴ est le carré de x²
25 est le carré de 5
double produit : 2*5*x²
= (x² + 5)²
ex 3
la forme canonique de ax² + bx + c est a(x - α)² + β
a est le coefficient de x, il faut trouver α et β
• f(x) = x² + 2x + 3
pour celui-ci c'est simple
x² + 2x est le début du développement du carré de (x + 1)²
(x + 1)² = x² + 2x + 1
on remplace x² + 2x par (x + 1)² et on enlève le 1 que l'on a ajouté
f(x) = (x + 1)² - 1 + 3
= (x + 1)² + 2
• h(x) = 3x² + x - 2
on met le coefficient de x en facteur dans les deux premiers termes
3x² + x - 2 = 3(x² + 1/3x) - 2
x² + 1/3x est le début du développement d'un carré, il faut trouver lequel
on fait apparaître le double produit
x² + 2*1/6*x (double produit 2ab ; a = x et b = 1/6)
x² + 2*1/6*x + (1/6)² = (x + 1/6)²
x² + 2*1/6*x = (x + 1/6)² - (1/6)²
3(x² + 1/3x) - 2 = 3[(x + 1/6)² - (1/6)²] - 2
= 3(x + 1/6)² - 3(1/6)² - 2
= 3(x + 1/6)² - 3/36 - 2
= 3(x + 1/6)² - 1/12 - 24/12
= 3(x + 1/6)² - 25/12
ce n'est pas simple (mais c'est du cours)
essaie de faire les 2 autres, je te donne les réponses
g(x) = x² + x + 1
= (x + 1/2)² + 3/4
i(x) = 5x² - 7x + 1
= 5(x - 7/10)² - 29/20
autre méthode pour le cas où tu l'aurais apprise
f(x) = ax² + bx + c
f(x) = a(x - α)² + β
α et β sont les coordonnées du sommet de la parabole qui représente cette fonction
Ce sommet a pour abscisse -b/2a
et pour ordonnée f(-b/2a)
je l'applique à g(x) = x² + x + 1
abscisse du sommet : -b/2a = -1/2
ordonnée du sommet : g(-1/2) = (-1/2)² -1/2 + 1
= 1/4 - 1/2 + 1
= 1/4 - 2/4 + 4/4
= (1 - 2 + 4)/4
= 3/4
α = -1/2 ; β = 3/4
d'où (x + 1/2) + 3/4
