Réponse :
Bonsoir,
Explications étape par étape :
1)a
U(0)=3
U(1)=5/2
U(2)=16/7
b)
artihmétique ? U(1)-U(0) =1/2 , U(2)-U(1)=16/7-5/2=-3/14 ==> non
géométrique ? U(1)/U(0)=5/6, U(2)/U(1)=32/35 ==> non
La suite n'est ni arithmétique ni géométrique mais homographique.
2a)
[tex]U_0=3\\\\U_{n+1}=\dfrac{4*U_n-2}{U_n+1} \\\\V_n=\dfrac{U_n-2}{U_n-1} \\\\V_0=\dfrac{U_0-2}{U_0-1}=\dfrac{3-2}{3-1} =\dfrac{1}{2}\\\\V_1=\dfrac{U_1-2}{U_1-1}=\dfrac{\frac{5}{2}-2}{\frac{5}{2}-1} =\dfrac{1}{3}\\V_2=\dfrac{U_2-2}{U_2-1}=\dfrac{\frac{16}{7}-2}{\frac{16}{7}-1} =\dfrac{2}{9}\\\\[/tex]
2b) V(n) est géométrique:
[tex]V_n=\dfrac{U_n-2}{U_n-1} \\\\V_{n+1}=\dfrac{ \frac {4U_n-2} {U_n+1 } -2 } {\frac{4U_n-2}{U_n+1}-1 } } \\\\\\=\dfrac{4U_{n}-2-2U_n-2}{4U_{n}-2-U_n-1} \\\\=\dfrac{2*(U_n-2) }{3*(U_n-1)} \\\\=\dfrac{2}{3}*V_n \\\\\\V_0=\dfrac{1}{2} \\\\\\\boxed{V_n=\frac{1}{2} *(\frac{2}{3} )^n}[/tex]
3.
[tex]V_n=\frac{U_n-2}{U_n-1} \Longrightarrow\ U_n=\frac{V_n-2}{V_n-1} \\\\\\\boxed{V_n=\dfrac{(\frac{2}{3})^n-4}{(\frac{2}{3})^n-2}} }\\\\[/tex]
