bjr
1)
x peut varier de 0 à 8 (m) ( 8 m longueur du côté du jardin)
x ∈ [0 ; 8]
2)
carré noir du haut : mesure côté : x
aire : x²
carré noir du bas : mesure côté : 8 - x
aire : (8 - x)²
somme de ces aires :
x² + (8 - x)² = x² + 64 - 16x + x²
= 2x² - 16x + 64
3)
forme canonique de 2x² - 16x + 64
2x² - 16x + 64 = 2(x² - 8x) + 64 (1)
(on met le coefficient de x² en facteur dans les deux premiers termes)
puis
x² - 8x = x² - 2*x*4
c'est le début du développement de (x - 4)² ; [x² - 8x + 16]
x² - 8x = (x - 4)² - 16 on porte dans (1)
2x² - 16x + 64 = 2(x² - 8x) + 64
= 2[(x - 4)² - 16] + 64
= 2(x - 4)² - 32 + 64
= 2(x - 4)² + 32
4)
a) somme des aires = aire du jardin
aire du jardin : 8 x 8 = 64 (m²)
on choisit la forme 2x² - 16x + 64 ;
2x² - 16x + 64 = 64 [les termes 64 s'éliminent]
2x² - 16x = 0 (factorisation facile)
2x(x - 8) = 0
x = 0 ou x - 8 = 0
x = 8
deux solutions : 0 et 8
(quand x vaut 0 le carré noir du haut disparaît et l'autre prend toute la place;
quand x vaut 8 c'est le carré noir du bas qui disparaît)
b) somme des aires = (1/2)aire du jardin
(1/2) aire jardin = 32 (m²)
on choisit la forme 2(x - 4)² + 32
2(x - 4)² + 32= 32 [ce sont les 32 qui disparaissent]
2(x - 4)² = 0
x - 4 = 0
x = 4
une solution : 4
(le grand carré est partagé en 4 carrés égaux)
c) somme des aires = (1/4)aire du jardin
(1/4) aire jardin = 16 (m²)
forme canonique : 2(x - 4)² + 32
2(x - 4)² + 32 = 16
2(x - 4)² + 32 - 16 = 0
2(x - 4)² + 16 = 0 [ (x - 4)² ≥ 0]
cette équation n'a pas de solution car le premier membre est 16 ou supérieur à 16. Il ne peut s'annuler.
ce n'est pas possible.
d) somme des aires = 40 m²
on utilise : 2(x - 4)² + 32
2(x - 4)² + 32 = 40
2(x - 4)² + 32 - 40 = 0
2(x - 4)² - 8 = 0
(x - 4)² - 4 = 0
(x - 4)² - 2² = 0
(x - 4 - 2)(x - 4 + 2) = 0
(x - 6)x - 2) = 0
x = 6 ou x = 2
deux solutions : 2 et 6
( cela correspond à des aires de 4 m² et 36 m² )
