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I- Déterminer les dimensions d’un triangle rectangle dont l’aire et le périmètre sont égaux à 30.
Soit un triangle rectangle dont les côtés ont pour mesures a, b, et c
(voir figure)
l'aire de ce triangle vaut 30 : (a x b)/2 = 30
le périmètre vaut 30 : a + b + c = 30
ce triangle est rectangle : Pythagore
c² = a² + b²
d'où le système d'équations à 3 inconnues
a x b = 60 (1)
a + b + c = 30 (2)
c² = a² + b² (3)
• calcul de c
c² = a² + b²
c² = a² + 2ab + b² -2ab
c² = (a + b)² - 120 [ (1) -> ab = 120]
c² = (30 - c)² - 120 [ (2) -> a + b = 30 - c) ]
c² = 900 - 60c + c² - 120
60c = 900 - 120
60c = 780
c = 13
• calcul de a et b
(2) a + b + c = 30 ; c = 13
a + b + 13 = 30
a + b = 17
on connaît
S = a + b = 17
P = ab = 60
a et b sont solutions de l'équation
x² - Sx + P = 0 soit
x² - 17x + 60 = 0 équations du seconde degré
Δ = (-17)² - 4*1*60 = 289 - 240 = 49 = 7²
les solutions :
x1 = (17 - 7)/2 = 5 et x2 = (17 + 7/2 = 12
les valeurs de a et b sont 5 et 12
dimensions du triangle : 5 ; 12 ; 13
II- Déterminer 3 entiers relatifs consécutifs dont la somme est égale au produit.
soient trois entiers consécutifs : n - 1 ; n et n + 1
• somme s : n - 1 + n + n + 1 = 3n
• produit p : (n - 1)*n*(n + 1) = n(n² - 1) = n³ - n
s = p
n³ - n = 3n
n³ -4n = 0
n(n² - 4) = 0
n(n - 2)(n + 2) = 0 cet équation équivaut à
n = 0 ou n - 2 = 0 ou n + 2 = 0
n = 2 n = -2
S = {-2 ; 0 ; 2}
