Réponse :
Bonjour pour déterminer les racines d'une équation E(x) du 3ème degré il y a deux méthodes courantes
1)déceler une solution évidente x0 telle que E(x0)=0 l'équation s'écrit alors E(x)=(x-x0)(ax²+bx+c); il reste à déterminer les coefficients "a" ,"b" et "c" puis résoudre cette équation du second degré via "delta"
2) s'il n'y a pas de solution évidente on étudie E(x) en temps que fonction polynôme du 3ème degré et on recherche les points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses (grâce au tableau de variations et au TVI)
Explications étape par étape :
Dans l'exercice on note que x=2 est solution de f(x)=0 f(x2)=32-48+18-2=0
1ére solution: x0=2
donc f(x)=(x-2)(ax²+bx+c)
pour déterminer les coefficients "a", "b" et "c" tu as le choix entre
1)Effectuer la division euclidienne (4x³-12x²+9x-2) par (x-2) tu obtiens
q= 4x²-4x+1 et r=0 donc f(x)=(x-2)(4x²-4x+1)
Nota: pour les élèves qui savent faire une division euclidienne littérale.
2)Par identification des coefficients
(x-2)(ax²+bx+c)=ax³+bx²+cx-2ax²-2bx-2c)=ax³+(b-2a)x²+(c-2b)x-2c
Par comparaison avec l'équation initiale
a=4; c=1 et comme b-2a=-12 donc b=-4
ce qui donne f(x)=(x-2)(4x²-4x+1)
Factorisation
on note que (4x²-4x+1)=(2x-1)² (identité remarquable)
f(x)=(x-2)(2x-1)²
la seconde solution de f(x)=0 est x1=1/2
