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Réponse :
I(x) = (2 x - 8)e⁻ˣ
déterminer I " la dérivée seconde de I
I(x) = (2 x - 8)e⁻ˣ
I '(x) = (u*v) = u'v + v'u
u(x) = 2 x - 8 ·⇒ u '(x) = 2
v(x) = e⁻ˣ ⇒ v '(x) = - e⁻ˣ
I '(x) = 2e⁻ˣ - (2 x - 8)e⁻ˣ = (2 - 2 x + 8)e⁻ˣ = (10 - 2 x)e⁻ˣ
I "(x) = - 2e⁻ˣ - (10 - 2 x)e⁻ˣ = (- 2 - 10 + 2 x)e⁻ˣ = (2 x - 12)e⁻ˣ
or e⁻ˣ > 0 donc le signe de f "(x) dépend du signe de 2 x - 12
x - ∞ 6 + ∞
2 x - 12 - 0 +
concave convexe
I change de convexité en 6, donc le point d'abscisse 6 est un point d'inflexion.
Explications étape par étape :
Bonjour :)
Rappel sur les dérivées :
[tex](uv)'=u'v+uv'\\\\(e^{u})'=u'e^{u}[/tex]
Rappel sur la convexité :
[tex]Si\ f''>0,alors\ la\ fonction\ f\ est\ convexe\\Si\ f''<0,alors\ la\ fonction\ f\ est\ concave\\[/tex]
[tex]u = 2x-8\ \ \ u'=2\\v=e^{-x}\ \ \ \ \ \ \ v'= -e^{-x}\\\\l'(x) = 2*e^{-x}+(2x-8)(-e^{-x})\\l'(x) = 2*e^{-x} -2xe^{-x}+8e^{-x}\\l'(x) = 10e^{-x} - 2xe^{-x}\\l'(x)= 2e^{-x}(5-x)[/tex]
[tex]l''(x)=-2e^{-x}(5-x)+2e^{-x}(-1)\\l''(x)=2e^{-x}(-1-(5-x))\\l''(x)=2e^{-x}(x-6)\\\\On\ sait\ que\ 2e^{-x} > 0\ sur\ \mathbb R\ donc\ le\ signe\ de\ l''(x)\ d\'epend\ de\ (x-6)\\\\l(x)\ est\ concave\ sur\ ]-\infty; 6]\\l(x)\ est\ convexe\ sur\ [6; +\infty[\\\\Voir\ tableau\ de\ signe\ ci\ joint[/tex]
[tex]Un\ point\ d'inflexion\ d\'ecrit\ le\ moment\ o\`u\ l'on\ change\ de\ convexit\'e\\\\Autrement\ dit\ x\ est\ d'abcisse\ du\ point\ d'inflexion\ pour\ f''(x)=0\\\\D'apr\`es\ le\ tableau\ de\ signe\ de\ l''(x)\ et\ l'\'etude\ de\ la\ convexit\'e, on\ a:\\Le\ point\ d'inflexion\ a\ pour\ coordonn\'ees\ [6; l(6)]\ soit\ [6; 4e^{-6}][/tex]
N'hésite pas à me poser des questions, bonne continuation.
