Réponse :
Explications étape par étape :
Bonjour
1)
cas général
f(x) = a x³ + b x² + c x + d
avec a ≠0 et b, c, d des réels
soit α un réel
f(x) - f(α) = a x³ + b x² + c x + d - (a α³ + b α² + c α + d )
f(x) - f(α)= a x³ + b x² + c x + d - a α³ - b α² - c α - d
je rassemble les termes correspondants
f(x) - f(α)= a (x³ - α³) + b (x²- α²) + c ( x - α)
b)
pour tout réel x ,
( x - α)(x² - α x + α²) = x³ - a x² + α² x - a x² - a² x - a³
( x - α)(x² - α x + α²) = x³ - α³
c)
f(x) - f(α)= a (x³ - α³) + b (x²- α²) + c ( x - α)
f(x) - f(α)= a ( x - α)(x² - α x + α²) + b (x²- α²) + c ( x - α)
f(x) - f(α)= a ( x - α)(x² - α x + α²) + b (x- α)(x + α) + c ( x - α)
f(x) - f(α)= a ( x - α)(x² - α x + α²) + b (x- α)(x + α) + c ( x - α)
f(x) - f(α)= ( x - α) ( a (x² - α x + α²) + b (x + α) + c)
f(x) - f(α)= ( x - α) ( a x² - α² x + a α²) + b (x + α) + c)
si α est racine de f(x) alors f(α) = 0
donc f(x) - 0 = ( x - α) ( a x² - α² x + a α² + b (x + α) + c)
donc f(x) = ( x - α) ( a x² - α² x + a α² + b (x + α) + c)
donc f(x) peut se factoriser par x - α pour tout réel x
f(x) = 2x³ + x² - 5x + 2
a)
Les racines évidentes son souvent 1, - 1, 2, -2
testons x = 1
f(1) = 2(1)³ + (1)² - 5(1) + 2 = 2 + 1 - 5 + 2 = 3 - 5 + 2 = 0
1 est bien une racine évidente car f(1) = 0
b)
Comme 1 est une racine évidente, alors f(x) peut s'écrire (x - 1) (a x² + b x +c) ou a ,b et c sont des réels
c)
f(x) = 2x³ + x² - 5x + 2 = (x - 1) (a x² + b x +c)
2x³ + x² - 5x + 2 = a x³ + b x² + c x - a x² - b x - c
ensuite on met les coefficients correspondants ensemble,
2x³ + 1 × x² - 5x + 2 = a x³ + (b - a) x² + (c - b) x - c
ensuite par identification des coefficients (ici en gras) , nous avons
2 = a
1 = b - a
c - b = - 5
2 = - c
Nous avons donc
a = 2
1 = b - 2⇒ b = 1 + 2 =3⇒ b = 3
c = - 2
donc on vérifie c - b = - 3 - 3 = - 5
donc f(x) = 2x³ + x² - 5x + 2 = (x - 1) (2 x² + 3 x - 2)
d)
f(x) = 0 ⇒ (x - 1) (2 x² + 3 x - 2) = 0
soit x - 1 = 0 ou 2x² + 3x - 2 =0
soit x = 1 ou 2x² + 3x - 2 = 0
2x² + 3x - 2 = 0
calculons le discriminant Δ = b² - 4 ac
avec a = 2, b = 3 et c = - 2
Δ = (3)² - 4(2)(- 2)
Δ = 9 + 16
Δ= 25 > 0 et √Δ = √25 = 5
donc l'équation 2x² + 3x - 2 = 0 admet deux solutions
x₁= ( - b - √Δ) / (2a) et x₂= ( - b + √Δ) / (2a)
avec a = 2, b = 3 et c = - 2
x₁ = ( - (3) - 5) / (2(2)) et x₂ = ( - (3) + 5) / (2(2))
x₁ = ( - 3 - 5) / 4 et x₂= ( - 3 + 5) / 4
x₁ = ( - 8) / 4 et x₂= 2/4
x₁ = - 2 et x₂= 1/2
2x² + 3x - 2 = 0 peut s'écrire a (x - x₁) (x - x₂) = 2 (x + 2) (x - 1/2)
donc (x - 1) (2 x² + 3 x - 2) = 0 ⇒ 2 (x - 1) (x + 2) (x - 1/2)
soit x= 1 ou x = - 2 ou x = 1/2
S = { - 2; 1/2;1}
e) dans R
-x³ + 7x² - 7x - 15 = 0
recherchons une racine évidente
f(-1) = -(-1)³ + 7(-1)² - 7(-1) - 15 = 1 + 7 + 7 - 15 =0
- 1 est une racine évidente donc
-x³ + 7x² - 7x - 15 peut s'écrire de la forme ( x + 1) (a x² + b x + c) avec a , b , c des réels
- x³ + 7x² - 7x - 15 = ( x + 1) (a x² + b x + c)
- x³ + 7x² - 7x - 15 = a x³ + b x² + c x + a x² + b x + c
- x³ + 7x² - 7x - 15 = a x³ + (b + a) x² + (c + b) x + c
Par identification des coefficients , nous avons
- 1 = a
7 = b + a
- 7 = c + b
- 15 = c
donc nous avons
a = - 1
7 = b - 1⇒ b = 7 + 1 ⇒ b = 8
- 15 = c
donc c + b = - 15 + 8 = - 7
donc a = - 1, b = 8 et c = - 15
- x³ + 7x² - 7x - 15 = ( x + 1) ( - x² + 8 x - 15)
- x³ + 7x² - 7x - 15 = 0 si ( x + 1) ( - x² + 8 x - 15) = 0
soit x + 1 = 0 ou - x² + 8x - 15 = 0
soit x = - 1 ou - x² + 8x - 15 = 0
- x² + 8x - 15 = 0
calculons le discriminant Δ = b² - 4 ac
avec a = - 1, b = 8 et c = - 15
Δ = (8)² - 4(-1)(- 15)
Δ = 64 - 60
Δ= 4 > 0 et √Δ = √4 = 2
donc l'équation - x² + 8x - 15 = 0 admet deux solutions
x₁= ( - b - √Δ) / (2a) et x₂= ( - b + √Δ) / (2a)
avec a = - 1, b = 8 et c = - 15
x₁ = ( - (8) - 2) / (2(-1)) et x₂ = ( - (8) + 2) / (2(-1))
x₁ = ( - 8 - 2) / ( -2) et x₂= ( - 8 + 2) / (-2)
x₁ = ( - 10) / (-2) et x₂= (-6)/(-2)
x₁ = 5 et x₂= 3
donc les solutions sont S = { - 1;3 ;5}
