S3
La technique ici est de séparer la somme en deux sommes. Dans le cas général, on a :
[tex]\sum^{n}_{i=0} (x_i + y_i) = \sum^{n}_{i=0} x_i + \sum^{n}_{i=0} y_i[/tex]
Donc dans notre cas, on a :
[tex]\sum^{n}_{k=0} (U_k - 1) = \sum^{n}_{k=0} U_k - \sum^{n}_{k=0} (-1) = n(n+2) - (n+1)\\= n^2 + n - 1[/tex]
Pour le voir sans connaître la propriété, il est possible de développer la somme pour voir ce que cela "donne". On peut observer qu'à chaque fois il y a -1 qui revient et les termes [tex]U_k[/tex], on regroupe les -1 d'un côté et les [tex]U_k[/tex] de l'autre.
S4
Il faut remarquer que [tex]\sum^{2n}_{k=n+1} U_k = \sum^{2n}_{k=0} U_k - \sum^{n}_{k=0} U_k[/tex].
Or [tex]\sum^{2n}_{k=0} U_k = 2n(2n + 2) = 4n(n+1)[/tex] (S1).
On a donc :
S4 = 4n(n+1) - n(n+2)
On développe puis réduit :
S4 = 3n² + 2n
