Solution :Soientxetydeux nombres tels quex-y=12. SoitP=xyle produit dexety.On cherche à minimiser le produitP. Commex-y=12 alorsy=x-12.D’où le produitP=P(x)=x(x-12)=x2-12x.Minimiser le produitxyrevient à déterminerle minimum de la fonctionP(x). Pour cela, on détermine les points critiques deP:P0(x)=2x-12.P0(x)=0⇐⇒2x-12=0⇐⇒x=6.On trouve un seul point critiquex=6 qui est un point stationnaire.On détermine la nature du point stationnaire avec le test de la dérivée seconde. Pour cela, oncalcule la dérivée seconde :P00(x)=2>0.D’où, le point stationnairex=6 est un minimum. De l’égalitéy=x-12, on obtienty= -6.
