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Sagot :
Réponse :
{t1 = 11
{∀n∈N* ; tn+1 = 4tn + 3
Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, tn = 3 x 4ⁿ - 1
Raisonnement par récurrence
1) initialisation : vérifions que pour n = 1 ; P(1) est vraie
t1 = 3 x 4 - 1 = 11 donc P(1) est vraie
2) hérédité : supposons que pour tout entier naturel n > 0 ; P(n) est vraie c'est à dire que tn = 3 x 4ⁿ - 1 et montrons que P(n+1) est vraie
tn+1 = 4 tn + 3 ⇔ tn+1 = 4*(3 x 4ⁿ - 1) + 3
= 3 x 4 x 4ⁿ - 4 + 3
= 3 x 4ⁿ⁺¹ - 1
donc tn+1 = 3 x 4ⁿ⁺¹ - 1 ⇒ P(n+1) est vraie
3) conclusion : la propriété est vraie pour n = 1
et par hérédité et pour et pour tout entier naturel n non nul P(n) est vraie
Explications étape par étape :
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