Réponse :
U0 = - 1
pour tout entier naturel n; Un+1 = 0.2Un + 0.6
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, Un ≤ 1
1) Initialisation : vérifions que pour n = 0 ; P(0) est vraie
U0 ≤ 1 ; - 1 ≤ 1 donc P(0) est vraie
2) hérédité : supposons qu'au rang n ; P(n) est vraie et montrer que P(n+1) est vraie
Un ≤ 1 ⇔ 0.2Un ≤ 0.2 ⇔ 0.2Un + 0.6 ≤ 0.2+0.6 ⇔0.2Un + 0.6 ≤ 0.8
⇔ 0.2Un + 0.6 ≤ 1 ⇔ Un+1 ≤ 1 donc P(n+1) est vraie
3) conclusion : la propriété est vraie pour n = 0
et héréditaire à partir de ce rang
donc elle est vraie pour tout entier naturel n
Explications étape par étape :
