Réponse :
U0 ∈ ]0 ; 1[ et Un+1 = Un(2 - Un)
démontrer par récurrence que : ∀n∈N, 0 < Un < 1
1) Initialisation : vérifions que pour n = 0 P(0) est vraie
0 < U0 < 1 or U0 ∈ ]0 ; 1[ donc P(0) est vraie
2) Hérédité : supposons que ∀n∈N P(n) est vraie c'est à dire 0 < Un < 1
et montrons que P(n+1) est vraie
Un+1 = Un(2 - Un) = 2Un - U²n
sachant 0 < Un < 1 ⇔ 0 < 2Un < 2
0 < Un < 1 ⇔ 0 < U²n < 1
...............................
0 < 2Un - U²n < 2 - 1 = 1
donc 0 < Un+1 < 1 donc P(n+1) est vraie
3) Conclusion : pour n = 0 P(0) est vraie, et P(n) est héréditaire
donc on a pour tout entier naturel n 0 < Un < 1
Explications étape par étape :