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La suite (un) est définie par
U0 = 0 et, pour tout entier
naturel n, Un+1= 1/2-u.
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel:
n, Un= n/n+1

Sagot :

Réponse :

démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n ;

  Un = n/(n+1)

1) initialisation :  pour n = 0 vérifions que P(0) est vraie

             U0 = 0/0+1 = 0    donc  P(n) est vraie

2) hérédité :  supposons que pour tout n de N;     Pn) est vraie c'est à dire     Un = n/(n+1) et montrons que P(n+1) est vraie c'est à dire Un+1 = (n + 1)/(n+2)

sachant que  Un+1 = 1/(2 - Un)  ⇔ Un+1 = 1/(2 - (n/(n+1)) = 1/(2(n+1) - n)/(n+1)

⇔ Un+1 = (n+1)/(n+2)  donc  P(n+1) est vraie

3) conclusion :  P(0) est vraie et par récurrence P(n) est vrai pour tout n de N

Explications étape par étape :