jambonbeurre87
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Bonjour qui peux m'aider svp

Activité 3 : Un fleuriste dispose de 60 roses et de 105 marguerites. Il veut utiliser toutes les fleurs pour en faire des bouquets identiques contenant tous le même nombre de roses et le même nombre de marguerites. a) Le fleuriste peut-il faire 4 bouquets identiques ? Peut-il faire 5 bouquets identiques ? Justifier. b) Déterminer toutes les compositions possibles de bouquets identiques. (Justifier) c) Quel nombre maximal de bouquets peut-il réaliser ? Justifier. Donner alors la composition de chaque bouquet (nombres de roses et de marguerites dans chaque bouquet).​

Sagot :

OzYta

Bonjour,

Un fleuriste dispose de 60 roses et de 105 marguerites. Il veut utiliser toutes les fleurs pour en faire des bouquets identiques contenant tous le même nombre de roses et le même nombre de marguerites.

a) Pour faire 4 bouquets identiques, il faudrait que le nombre de roses et le nombre de marguerites soient des multiples de 4.

  • En effet, 60 est divisible par 4 (car 4 * 15 = 60)
  • Or, 105 n'est pas divisible par 4 (car 105 / 4 = 26.25)

Cela n'est donc pas possible.

Faisons la même chose pour 5 bouquets identiques.

  • 60 est divisible par 5 (car 5 * 12 = 60)
  • 105 est divisible par 5 (car 5 * 21 = 105)

Le fleuriste peut donc réaliser 5 bouquets identiques.

b) Pour déterminer toutes les compositions possibles de bouquets identiques, il faut trouver tous les diviseurs communs de 60 et 105.

Il faut décomposer ces deux nombres en produit de facteurs premiers.

(→ Voir la pièce jointe)

On obtient donc :

60 = 2² * 3 * 5 et 105 = 3 * 5 * 7

On remarque que l'on peut réaliser :

  • 5 bouquets identiques : avec 60/5 = 12 roses et 105/5 = 21 marguerites (trouvé à la question précédente)
  • 3 bouquets identiques : avec 60/3 = 20 roses et 105/3 = 35 marguerites
  • Mais aussi 3 * 5 = 15 bouquets identiques : avec 60/15 = 4 roses et 105/15 = 7 marguerites

(PS : on peut aussi faire un bouquet de 60 roses et 105 marguerites.)

c) Le nombre maximal de bouquets identiques que l'on peut réaliser est donc de 15.

Composition du plus grand bouquet:

60 / 15 = 4 roses

105 / 15 = 7 marguerites

En espérant t'avoir aidé(e).

View image OzYta
ClementCg

Salut,

On va avancer par étape, si à un moment tu es perdu n'hésite pas à bien relire ce que j'ai écrit, normalement tout est expliqué.

Question a)

Le fleuriste peut-il faire 4 bouquets identiques ? Peut-il faire 5 bouquets identiques ?

► Non, le fleuriste ne peut pas faire 4 bouquets identiques, puisqu'il y au un nombre impair de marguerites (105), ce n'est donc pas divisible par 4.

Cela donnerait 26,25 marguerites par bouquet, ce n'est pas possible

► Oui, le fleuriste peut faire 5 bouquets identiques, puisque 60 comme 105 sont divisibles par 5.

60 ÷ 5 = 12 roses /// 105 ÷ 5 = 21 marguerites

Question b)

Déterminer toutes les compositions possibles de bouquets identiques. (Justifier)

Une composition est possible, si les deux nombres (60 et 105) sont divisibles par le même facteur.

Par exemple, à la question a), il est possible de faire 5 bouquets avec la composition 12 roses et 21 marguerites car les deux nombres de fleurs ont été divisés par le même facteur.

Pour savoir toutes les compositions de bouquets possibles, il faut trouver tous les diviseurs multiples des deux nombres (60 et 105).

La manière la plus facile de faire cela, c'est de trouver le PGCD en premier (Plus Grand Commun Diviseur).

Car tous les diviseurs du PGCD de deux nombres, sont également tous les diviseurs communs de ces deux nombres

1. Calcul du PGCD

Il existe plusieurs méthodes pour calculer le PGCD de deux nombres, je ne sais pas laquelle on t'a apprise, peut-être toutes ?

A savoir qu'il y a: Par division Euclidienne, par la méthode des diviseurs et par la méthode des soustractions.

C'est celle-ci qu'on va utiliser dans cet exercice, j'estime que c'est la plus simple surtout quand on fait face à des petits nombres, à peu près ronds, comme ici.

105 - 60 = 45

60 - 45 = 15

PGCD(105;60) = 15

2. Cherchons les diviseurs communs

Maintenant qu'on a le plus grand des diviseurs communs, c'est facile d'identifier tous les autres, puisqu'il s'agit en fait des diviseurs de ce PGCD.

Diviseurs de 15:  1, 3, 5, 15

Les diviseurs communs de 105 et 60 sont donc 1, 3, 5 et 15

3. Réponse à l'exercice

J'ai plus besoin d'expliquer, je suis sûr que tu as compris.

Il ne nous reste plus qu'à diviser les nombres par les diviseurs qu'on a trouvé pour identifier toutes les compositions de bouquet possibles.

Calculs : 60 ÷ 1 et 105 ÷ 1

Composition 1 : 60 roses et 105 marguerites

Calculs : 60 ÷ 3 et 105 ÷ 3

Composition 2 : 20 roses et 35 marguerites

Calculs : 60 ÷ 5 et 105 ÷ 5

Composition 3 : 12 roses et 21 marguerites

Calculs : 60 ÷ 15 et 105 ÷ 15

Composition 4 : 4 roses et 7 marguerites

Question c)

Quel nombre maximal de bouquets peut-il réaliser ? Justifier. Donner alors la composition de chaque bouquet.

Le nombre total de bouquets identiques qu'il peut réaliser est de 15.

Car 15 est le PGCD de 60 et 105, c'est à dire que c'est le plus grand commun diviseur.

Au delà, les nombres de fleurs ne sont plus divisibles de manières égales.

Et ces bouquets seront composés de 4 roses et 7 marguerites chacun.

Voilà, c'est une longue réponse mais que j'ai essayé de rendre la plus complète possible, si tu as mal compris quelque chose, n'hésite pas à me demander en commentaire.

Bonne après-midi :)

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