Réponse :
soit f définie sur R par f(x) = 4 x³ + 9 x² - 16 x - 36
1) montrer que - 2 est racine de f; en déduire la factorisation de f(x)
f(x) = 4 x³ + 9 x² - 16 x - 36
f(- 2) = 4*(-2)³ + 9*(-2)² - 16*(-2) - 36
= - 32 + 36 + 32 - 36
= 0
on a bien f(-2) = 0, donc - 2 est racine de f
on écrit f(x) = (x + 2)(a x² + b x + c) ; on cherche donc les nombres réels a; b et c en développant f(x)
f(x) = (x + 2)(a x² + b x + c)
= a x³ + b x² + c x + 2a x² + 2b x + 2 c
= a x³ + (2a + b) x² + (2b + c) x + 2c
a = 4
2a + b = 9 ⇔ 2*4 + b = 9 ⇔ b = 1
2b + c = - 16
2c = - 36 ⇔ c = - 36/2 = - 18
donc f(x) = (x + 2)(4 x² + x - 18)
4 x² + x - 18
Δ = 1 + 288 = 289 > 0 ⇒ 2 racines distinctes et √289 = 17
x1 = - 1 + 17)/8 = 2
x2 = - 1 - 17)/8 = - 9/4
a(x - x1)(x - x2) = 4(x - 2)(x + 9/4) = 4(x - 2)(4 x + 9)/4 = (x - 2)(4 x + 9)
donc la factorisation de f est : f(x) = (x + 2)(x - 2)(4 x + 9)
2) résoudre l'équation f(x) = 0
f(x) = 0 ⇔ (x + 2)(x - 2)(4 x + 9) = 0 produits de facteurs nuls
⇔ x + 2 = 0 ⇔ x = - 2 ou x - 2 = 0 ⇔ x = 2 ou 4 x + 9 = 0 ⇔ x = -9/4
⇔ S = {-9/4 ; - 2 ; 2}
3) résoudre l'inéquation f(x) ≥ 0
x - ∞ - 9/4 - 2 2 + ∞
x + 2 - - 0 + +
x - 2 - - - 0 +
4 x + 9 - 0 + + +
f(x) - 0 + 0 - 0 +
l'ensemble des solutions est ; S = [-9/4 ; - 2]U[2 ; + ∞[
Explications étape par étape :
