Réponse :
U0 = 10
Un+1 = 2Un - 1
pour tout n ∈ N ; Vn = Un - 1
1) calculer les 3 premiers termes des 2 suites
U0 = 10
U1 = 2U0 - 1 = 2*10 - 1 = 19
U2 = 2U1 - 1 = 2*19 - 1 = 37
V0 = U0 - 1 = 10 - 1 = 9
V1 = U1 - 1 = 19 - 1 = 18
V2 = U2 - 1 = 37 - 1 = 38
2) démontrer que la suite (Vn) est géométrique, exprimer alors (Vn) en fonction de n
Vn+1 = Un+1 - 1 = 2Un - 1 - 1 = 2Un - 2
donc Vn+1/Vn = 2Un - 2)/(Un - 1) = 2(Un - 1)/(Un - 1) = 2
donc la suite (Vn) est géométrique de premier terme V0 = 9 et de raison q = 2
Vn = V0 x qⁿ d'où l'exression de (Vn) qui est : Vn = 9 x 2ⁿ
3) démontrer que pour tout entier n, on a, Un = 9 x 2ⁿ + 1
Vn = Un - 1 ⇔ Un = Vn + 1 ⇔ Un = 9 x 2ⁿ + 1
Donc pour tout entier n ; on a, Un = 9 x 2ⁿ + 1
4) déterminer le sens de variation de (Un)
Un+1 - Un = 2Un - 1 - Un = Un - 1 = 9 x 2ⁿ + 1 - 1 = 9 x 2ⁿ > 0
car 9 > 0 et pour n ≥ 0 on a 2ⁿ > 0 donc 9 x 2ⁿ > 0
⇔ Un+1 - Un > 0 ⇒ la suite (Un) est croissante sur N
Explications étape par étape :