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Bonjour pouvez-vous m’aider pour cet exercice s’il vous plaît merci d’avance je n’y arrive pas

Bonjour Pouvezvous Maider Pour Cet Exercice Sil Vous Plaît Merci Davance Je Ny Arrive Pas class=

Sagot :

Réponse :

dans chacun des cas, donner l'ensemble de définition, la dérivée et l'ensemble de dérivabilité de la fonction f , vous donnez ensuite ses variations

1) f(x) = x² - 2 x - 1

* Df = R

* f est une fonction polynôme donc dérivable sur R  et sa dérivée f ' est

f '(x) = 2 x - 2

   x   - ∞                          1                     + ∞

f'(x)                  -             0           +

f(x)   + ∞→→→→→→→→→→ - 2 →→→→→→→→→ + ∞

            décroissante          croissante

2) f(x) = - x³ + 2 x² + 4 x

      Df = R

      f '(x) = - 3 x² + 4 x + 4     Df' = R

    Δ = 16 + 48 = 64  > 0  2 solutions distinctes

    x1 = - 4 + 8)/- 6 = - 2/3

    x2 = - 4 - 8)/-6 = 2

       x   - ∞                        - 2/3                          2                          + ∞

    f'(x)                    -              0              +            0             -  

    f(x)   + ∞ →→→→→→→→→→→ f(-2/3)→→→→→→→→→ f(2) →→→→→→→→→→→ - ∞

                   décroissante              croissante            décroissante

f(-2/3) = - (-2/3)³ + 2(-2/3)² + 4(- 2/3) = .......

f(2) = - 2³ + 2*2² + 4*2 = 8

3) f(x) = (x² + 5 x + 5)/(x² + x + 1)

  x² + x + 1

Δ = 1 - 4 = - 3 < 0  pas de solutions

donc le signe de  x² + x + 1 est du signe de a = 1 > 0  donc

∀x ∈ R   x² + x + 1 > 0    Donc l'ensemble de définition est  Df = R

la fonction f est dérivable sur R   et sa dérivée est f '

f '(x) = (u/v)' = u'v - v'u)/v²

f '(x) =  [(2 x + 5)(x² + x + 1) - (2 x + 1)(x² + 5 x + 5)]/(x² + x + 1)²

       = (2 x³ + 2 x² + 2 x + 5 x² + 5 x + 5) - (2 x³ + 10 x² + 10 x + x² + 5 x + 5)

       = (2 x³ + 7 x² + 7 x + 5) - (2 x³ + 11 x² + 15 x + 5)]/(x² + x + 1)²

      =  (2 x³ + 7 x² + 7 x + 5 - 2 x³ - 11 x² - 15 x - 5)]/(x² + x + 1)²

      = (- 4 x² - 8 x)/(x² + x + 1)²   or   (x² + x + 1)² > 0

donc le signe de f' (x)  est du signe de  - 4 x² - 8 x

              x     - ∞                           - 2                           0                         + ∞

            f'(x)                      -              0              +           0              -

            f(x)    1 →→→→→→→→→→→→→ - 1/3 →→→→→→→→→→ 5 →→→→→→→→→→→ 1

                         décroissante                 croissante        décroissante          

Explications étape par étape :

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