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Bonjour, je n’arrive pas à résoudre les questions 3 et 4, est ce que quelqu’un pourrait m’aider svp. Merci d’avance
Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB=8 cm et AC=6 cm. Soit M, un point du coté (AB).
La parallèle à la droite (BC) passant par M coupe (AC) en N.
1. Calculer BC.
2. On pose AM= x. En utilisant le théorème de Thalès, exprimer en fonction de x les longueurs AN et NM. En déduire les longueurs MB et NC.
3. Exprimer en fonction de x le périmètre P1(x) du trapèze CNMB puis le périmètre P2(x) du triangle ANM.
4. Pour quelles valeurs de x le périmètre du trapèze CNMB est-il :
A. égal à celui du triangle ANM ?
B. strictement inférieur à celui de ANM ?

Sagot :

selimaneb7759

Réponse :

Explications étape par étape :

Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB=8 cm et AC=6 cm. Soit M, un point du coté (AB).

La parallèle à la droite (BC) passant par M coupe (AC) en N.

1. Calculer BC.

Dans le triangle ABC rectangle en A, d'après le théorème de Pythagore, on a

AB² + AC² = BC²

Application numérique

8² + 6² = BC²

BC² = 64 + 36

BC² = 100

BC = √100

BC = 10

la longueur BC est de 10 cm

2. On pose AM= x. En utilisant le théorème de Thalès, exprimer en fonction de x les longueurs AN et NM. En déduire les longueurs MB et NC.

Dans le triangle ABC rectangle A, dans le triangle AMN,

les points A,M,B et les points points A,N,C sont alignés et les droites (MN) et (BC) sont parallèles,

donc d'après le théorème de Thalès, on a

AM/AB = AN/AC= MN/BC

or AB=8 cm et AC=6 cm et BC = 10 cm et AM = x

donc on a

Application numérique

x/8 = AN/6 = MN / 10

ainsi AN = 6 x / 8 = 3 x/4 et MN = 10 x/8 = 5 x/ 4

3. Exprimer en fonction de x le périmètre P1(x) du trapèze CNMB puis le périmètre P2(x) du triangle ANM

le périmètre du trapèze CNMB est P1(x) = MB + BC + CN + MN

or

MB = AB - AM = 8 - x

BC = 10 cm

CN = AC - AN = 6 - 3 x /4

MN = 5 x/4

donc

P1(x) = 8 - x + 10 + 6 - 3 x/4 + 5 x/4

P1(x) = 24 - x + 2 x/4 = 24 - 4 x/4 + 2 x/4 = 24 - 2x/4

P1(x) = 24 - x/2

le périmètre du triangle ANM est P2(x) = AN + MN + AM

or

AN = 3 x/4

MN = 5 x/4

AM = x

donc

P2(x) = 3 x/4 + 5 x/4 + x

P2(x) = 8 x/4 + x

P2(x) = 2 x + x

P2(x) = 3 x

4. Pour quelles valeurs de x le périmètre du trapèze CNMB est-il :

A. égal à celui du triangle ANM ?

B. strictement inférieur à celui de ANM ?

A)

le périmètre du trapèze CNMB est égal à celui du triangle ANM

donc

P1(x) = P2(x)

24 - x/2 = 3x

24 = 3 x + x/2

24 = 7 x/2

48 = 7 x

48/7 = x

pour x = 48 /7 on a les périmètres P1(x) et P2(x) qui sont égaux

B)

P1(x) < P2 (x)

24 - x/2< 3x

24 < 7x/2

48/7 < x

Pour toutes valeurs de x supérieures à 48 /7  le périmètre P2(x) est plus grand que P1(x)

48/7≈ 6,86 cm

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