yahyaelmorchid30
Answered

Découvrez de nouvelles perspectives et obtenez des réponses sur Zoofast.fr. Posez n'importe quelle question et recevez des réponses immédiates et bien informées de la part de notre communauté d'experts dévoués.

bonjour est ce que quelqu'un pourrait m'aider pour cet exercice SVP​

Bonjour Est Ce Que Quelquun Pourrait Maider Pour Cet Exercice SVP class=

Sagot :

Réponse :

soit  x ∈ R

on pose  A = √(x²+1) - |x|   et   B = √(x²+1) + |x|

1) Montrer que :  A > 0  et en déduire que :   B > 2|x|

A = √(x²+1) - |x|   ⇔  A = [(√(x²+1) - |x|)(√(x²+1) + |x|)]/(√(x²+1) + |x|)

                                    = [(x² + 1) - |x|*|x|]/(√(x²+1) + |x|)  

or  |x|*|x| = |x*x| = |x²| = x²  car un carré est positif

donc  A = (x² + 1 - x²)/(√(x²+1) + |x|)  ⇔ A = 1/(√(x²+1) + |x|)  

or  (√(x²+1) + |x|)  > 0  et  1 > 0  donc  A = 1/(√(x²+1) + |x|) > 0

donc  A > 0

en déduire que B > 2|x|

A > 0  ⇔  √(x²+1) - |x| > 0  ⇔ √(x²+1) > |x|   ⇔ √(x²+1) + |x| > |x| + |x|  car |x| >0

⇔  √(x²+1) + |x| > 2|x|   ⇔ B > 2|x|

2) calculer AB

     AB = (√(x²+1) - |x|)*( √(x²+1) + |x|) = x² + 1 - x² = 1  ⇒ AB = 1

en déduire que A < 1/2|x|  pour  x ≠ 0

    AB = 1  ⇔ A = 1/B   et   sachant que  B > 2|x|   ⇔ 1/B < 1/2|x|

donc  A < 1/2|x|

3) démontrer que pour tout x ≠ 0

     |x| < √(x²+1) < |x| + 1/2|x|

    A < 1/2|x|  ⇔ √(x² + 1) - |x| < 1/2|x|  ⇔  √(x² + 1) - |x| + |x| < |x| + 1/2|x|    

⇔   √(x² + 1) < |x| + 1/2|x|  

   B > 2|x|  ⇔   √(x² + 1) + |x| > 2|x|  ⇔ √(x² + 1) + |x| - |x| > 2|x| - |x|

⇔ √(x² + 1) > |x|

donc   on a bien   |x| < √(x²+1) < |x| + 1/2|x|

Explications étape par étape :

Merci de votre participation active. Continuez à poser des questions et à partager vos réponses. Ensemble, nous pouvons créer une ressource de connaissances précieuse pour tous. Zoofast.fr est votre ressource de confiance pour des réponses précises. Merci et revenez bientôt.