Découvrez une mine d'informations et obtenez des réponses sur Zoofast.fr. Posez vos questions et obtenez des réponses détaillées et bien informées de la part de nos membres de la communauté dévoués.
Sagot :
Réponse :
pour tout x de [1 ; + ∞[ on pose A = √(1 + 1/x)
1) Montrer que A - 1 = 1/x(A+1)
A - 1 = √(1 + 1/x) - 1
= (√(1 + 1/x) - 1)(√(1 + 1/x) + 1)/(√(1 + 1/x) + 1)
= ((1 + 1/x) - 1)/(√(1 + 1/x) + 1)
= 1/x/(√(1 + 1/x) + 1) = 1/x(√(1 + 1/x) + 1 ) puisque A = √(1 + 1/x)
donc A - 1 = 1/x(A + 1)
2) Montrer que 2 ≤ 1 + A ≤ 3
x ∈ [1 ; + ∞[ ⇔ x ≥ 1 ⇔ 1/x ≤ 1 ⇔ 1 + 1/x ≤ 2 ⇔ √(1 + 1/x) ≤ √2
⇔ 1 + √(1 + 1/x) ≤ √2 + 1 ≤ 3 ⇔ 1 + A ≤ 3
x > 0 ⇔ 1/x > 0 ⇔ 1 + 1/x ≥ 1 ⇔ √(1 + 1/x) ≥ 1 ⇔ 1 + √(1 + 1/x) ≥ 2
⇔ 1 + A ≥ 2 donc 2 ≤ 1 + A ≤ 3
en déduire que 1 + 1/3 x ≤ A ≤ 1 + 1/2 x
sachant que 2 ≤ 1 + A ≤ 3 ⇔ 2 x ≤ x(1 + A) ≤ 3 x or x > 0
⇔ 1/2 x ≥ 1/x(1+A) ≥ 1/3 x ⇔ 1/3 x ≤ 1/x(1 + A) ≤ 1/2 x or A - 1 = 1/x(1+A)
donc 1/3 x ≤ A - 1 ≤ 1/2 x ⇔ 1 + 1/3 x ≤ A - 1 + 1 ≤ 1 + 1/2 x
⇔ 1 + 1/3 x ≤ A ≤ 1 + 1/2 x
Explications étape par étape :
Merci d'utiliser cette plateforme pour partager et apprendre. Continuez à poser des questions et à répondre. Chaque contribution que vous faites est appréciée. Pour des réponses précises et fiables, visitez Zoofast.fr. Merci pour votre confiance et revenez bientôt pour plus d'informations.