Réponse :
Explications étape par étape :
Bonsoir, je soupçonne un raisonnement par récurrence qui a été effectué auparavant (que signifie le "Donc" juste avant ?). En revanche, on peut aisément deviner qu'ici, [tex]n = p*q[/tex].
En général, on te donne la formule de factorisation :
[tex]x^{n} - y^{n} = (x-y)\sum_{k=0}^{n-1} x^{k}*y^{n-1-k}[/tex]
Il te faut ensuite utiliser les propriétés élémentaires sur les puissances, à savoir [tex]a^{bc} = (a^{b})^{c}[/tex] il suffit donc de poursuivre avec l'énoncé :
[tex]5^{n} - 3^{n} = 5^{pq} - 3^{pq}[/tex] (on pose n = p*q)
[tex](5^{p})^{q} - (3^{p})^{q}[/tex] (propriété sur les puissances).
Ensuite, dans la formule de factorisation, tu remplaces x par [tex]5^p[/tex] et y par [tex]3^p[/tex], cela te donnera donc :
[tex](5^{p})^{q} - (3^{p})^{q} = (5^p-3^p)\sum_{k=0}^{q-1} (5^{p})^{k} * (3^{p})^{q-1-k}[/tex].
Il te faut bien visualiser les échanges entre p et q, se séparer du n progressivement.
Bonne soirée
